三角形“四心”的向量条件（一）

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三角形“四心”的向量条件（一）

原创  数学侦察兵 笔架文园  2025 年 03 月 01 日 21:47 福建

“ 探究三角形四心的存在性，推导三角形四心的向量条件。”

三角形的四心，是指三角形的外心、重心、垂心，内心（这里不研究相对少见的三角形的旁心）．用向量条件来确定三角形四心的位置，一方面，可以看到向量表示的简洁美；另一方面，可以体现出数学的对称美．结论的证明通常也是依据对称性，选择恰当的基底进行研究．

本文主要研究两个方面的内容，其一，研究四心的存在性，即证明三线共点，通常的方法是先设其中两线交于一点，再证明第三条直线经过该点；其二，研究确定四心的向量条件，其基本思路为，把几何条件转化为向量条件，通过向量运算的结果，去解释几何现象．

关于三心（外心、重心、垂心）的位置关系（欧拉定理），以及四心向量条件的一般情形（奔驰定理），此文不作研究，另外行文总结．

01 三角形外心的向量条件





02 三角形垂心的向量条件









03 三角形重心的向量条件









04 三角形内心的向量条件








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