一个“无理数”能引发数学危机？“有理”说不清！

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一个“无理数”能引发数学危机？“有理”说不清！

为什么数学上所有的早期进展都通向勾股定理？

因为它反映了基础数学的两个侧面：数与空间，或算术与几何，或离散与连续。

就连大部分人接触证明也是从勾股定理开始，它是如此耳熟能详，又如此影响深远。

证明教会人类哪些东西是真的，哪些不是真的，为什么是真的，为什么不是真的。

没有证明，我们就无法谈论真正的数学

世界知名数学家、数学史专家约翰·史迪威（John Stillwell）“十年一剑”，图文并茂地展现了从勾股定理到现代数学的精彩历史。这是对数学思想的全方位揭秘，阐述了数学研究和学习的底层方法和逻辑：

什么问题可以被证明？如何证明？

什么问题可以（或无法）被解决？

证明是如何演变的？

数学在过去和未来如何凭借证明获得新生？



来源 | 《证明的故事：从勾股定理到现代数学》

作者 | [澳] 约翰·史迪威

译者 | 程晓亮 张浩

01  勾股定理

数学的标志性定理无疑是勾股定理〔西方又称毕达哥拉斯定理（Pythagorean theorem）〕。早在公元前 1800 年，人们就对勾股定理的算术侧面进行了深入的观察。

当时古巴比伦的数学家们发现了许多自然数三元数组 (a,b,c)  满足 a^2+b^2=c^2 。他们是否把每个三元数组 (a,b.c) 都看作一个直角三角形的三条边，这一点是受到质疑的，不过这种联系在古印度和中国并没有被忽略，古印度和中国也出现了对该定理特殊情况的几何论证。

无论如何，毕达哥拉斯学派还是恰当地将直角三角形与这个定理联系在一起，因为他们发现，具有单位直角边长的直角三角形的斜边长——根号 2 是无理数。这一发现是古希腊数学的转折点，甚至可以说是一场动摇数学基础的“危机”，因为它迫使人们对无穷进行推测，随之而来的还有对证明的需求。在不考虑无理性的古印度和中国，就不存在“危机”，因此人们没有必要从不言自明的公理出发，以演绎的方式发展数学。

正如我们将要看到的，无理数的本质是一个困扰数学家数千年的深刻问题。其实在古代，有了欧多克斯（Eudoxus）的比例理论，古希腊人迈出了从离散走向连续的第一步。

02  证明的起点

对许多人来说，勾股定理是几何学的起点，也是证明的起点。图 1.1 展示了该定理的纯几何形式：对于一个直角三角形（白色），以其斜边为边长的正方形（灰色）的面积等于以其另外两条边为边长的正方形（黑色）的面积之和。



上文中“等于”与“和”的含义可以借助图 1.2 来解释。图 1.2 的左右两图各是一个大正方形，里面有四个相同的直角三角形。在左图中，大正方形减去四个直角三角形后就是以直角三角形斜边为边长的正方形。在右图中，大正方形去掉四个直角三角形后就是分别以直角三角形两条直角边为边长的两个正方形。因此，以直角三角形斜边为边长的正方形的面积等于以其另外两条边为边长的正方形的面积之和。



因此，我们隐含地假设了欧几里得所说的一些“公理”：

1. 彼此能重合的图形全等；

2. 等于同量的量彼此相等；

3. 等量加等量，其和相等；

4. 等量减等量，其差相等。

这些假设听起来有点像代数，它们显然适用于数，但在这里它们被应用于几何对象。从这个意义上说，我们得到了一个几何定理的纯几何证明。毕达哥拉斯学派想要保持几何纯粹的原因将在第 1.3 节中解释。尽管图 1.2 作为图片令人信服，但有人可能会吹毛求疵地说，我们并没有真正解释为什么灰色区域和黑色区域是正方形。

毕达哥拉斯之后的古希腊人之所以确实对类似这样的细节吹毛求疵，是因为他们担心几何对象的本质，这也将在第 1.3 节出现。其结果是在公元前 300 年前后产生了欧几里得的《原本》，这是一个把几何学建立在坚实（但冗长）的逻辑基础上的证明体系。第 2 章会将图 1.2 扩充为一个欧几里得风格的证明。我们会发现“一图胜千言”这句话非常贴切。

如上所述，勾股定理在几个古代文化中被独立发现，可能还比毕达哥拉斯本人更早。其特殊情况出现在古印度和中国，最早的特例可能出现在古巴比伦（位于今天的伊拉克一带）。因此，这个定理是数学的广泛性的一个很好的例子。正如我们将在后面的章节中看到的，它以不同的形式出现在几何学的历史中，也出现在数论的历史中。

它最初是如何被证明的，这一点尚不清楚。上述证明是希思（Heath 1925，1：354）在他编辑的《原本》版本中给出的一个建议。中国和古印度的数学家对边长为特定数值（如 3, 4, 5 或 5, 12, 13 ）的三角形更感兴趣。

03  无理数

无理数自然地源于勾股定理，但只有毕达哥拉斯学派发现了无理数。像这个定理的其他发现者一样，毕达哥拉斯学派知道 a,  b,  c 这些自然数值的特殊情况。但显然，他们是唯一会问“为什么我们找不到 a = b 的三元数组？”这个问题的人，谜底就在谜面上：假设存在自然数 a 和 c 使得 c^2 = 2a^2 会得到矛盾。

毕达哥拉斯学派的论证不得而知，但是这个结果在亚里士多德时代（公元前 384 —前 322 年）肯定已成为常识，因为亚里士多德（Aristotle）显然认为他的读者会理解以下简短的提示：



这里的“可公度”是指常用的度量单位的自然数倍数，所以我们假设 c^2 = 2a^2 ，其中正方形的边长是 a 个单位，其对角线长是 c 个单位。我们得出的矛盾“奇数=偶数”如下。

首先，选择一个尽可能大的度量单位，我们可以假设自然数 c 和 a 没有公因子（1 除外）。特别地，它们中最多有一个可以是偶数。现在 c^2 = 2a^2 意味着 c^2 这个数是偶数。因为奇数的平方是奇数，所以 c 也必须是偶数，比如说可以写成 c = 2d 。用 2d 替换 c ，得到



然而，同理这又说明 a 是一个偶数，得出矛盾。

因此，假设存在使 c^2 = 2a^2 的自然数 a 和 c 是错误的。如今，表达这一事实的通常方式是：不存在自然数 c 和 a 使得  ，更简单地说，根号 2 是无理数。

图灵新知  2025 年 03 月 19 日 18:05 北京