最小能量原理

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最小能量原理

原创  NICE  NICE 读书会  2025 年 03 月 06 日 17:31 天津

1、 从最速降问题说起

1696 年 6 月约翰·伯努利以最速降线问题向欧洲数学界发起挑战，在只考虑重力的作用的情况下，不计摩擦力，一质点在竖直面从 A 点沿某条曲线到 B 点，问怎样的曲线能使所走的时间最短？



首先建立坐标系和方程，设水平向右为 x 轴正方向，设竖直向下 y 轴为正方向，设曲线方程为 y=y(x) ，下落过程中，小球重力势能不断转化为动能，于是



以 dx 为变换量，在 dx 变换内小球运行距离



所以小球在轨道上运行一段弧长所需的时间，也就是 ds 的时间为：



于是整个过程所花的时间：



这个问题用传统的方法难以解决，可以类比于最短时间原理（费马定理）来解决：一束光从 A 点传播到 B 点总是沿着尽可能快的路径（唯一一条），从最短距离原理可以导出反射定理，如下图所示，从空气中的 A 点到达水下的 B 点，因为速度不同，要想最短时间到达，需要满足斯涅尔定律。



类似于斯涅尔定律，小球从高处下降时，每段速度均不同，采用类比的思想，可以将高度等分很多段，当段数很大时，这段内的速度可以认为是相等的，则







约翰·伯努利宣称自己已得到问题的解答并将挑战时限定为六个月，但在此期间他没有收到任何回复。应莱布尼茨的要求，挑战时间公开延长了一年半。1697 年 1 月 29 日，当艾萨克·牛顿回到家时，发现约翰·伯努利写给他的一封信，信中以最速降线问题向他发起挑战。牛顿仅用一个晚上就解决了这个问题，并匿名发表在哲学汇刊上。伯努利读到牛顿的答案后，立刻认出了它的作者，并惊呼“从爪印认出了狮子”。





约翰·伯努利和牛顿最终的答案就是摆线，即滚动的轮子边缘上的一点所描述的形状，如上图所示。



2、 变分法和最小能量原理

后来欧拉对这个问题进行了深入分析，并发展出泛函代数这一数学分支，他将函数视为变量，可以将进行微分，将最速降问题抽象成纯数学问题：当积分



取极值时，函数 y(x) 应具有何种形式？

为了与数的变化——微分区别，用希腊字母 δ 表示。y 变化时，泛函 J 也相应改变。改变量为：



采用微分变换公式，容易证明 y(x) 应满足欧拉方程：





容易看出该方程和拉格朗日方程具有相同的形式：



其中 L=T-V ，是体系的动能与势能的差，称为拉格朗日量。

这两个方程是不同的人，在不同的时代，为解决完全不同的问题，而推出的具有完全不同意义的两个方程。但很明显，两个方程具有一模一样的数学形式。这是巧合吗？是的。基于这一巧合，哈密顿提出：既然满足欧拉方程的函数



取极值，那么对应拉格朗日方程，也一定有积分取极值。这个拉氏量在时间上的积分就是哈密顿作用量。上面分析说明：力学体系从时刻 t1 到时刻 t2 ，t 的一切可能在运动之中，只有使哈密顿作用量取极值的运动，才是实际发生的运动。这就是最小能量原理。从最小能量原理可以推出拉格朗日方程，但发现的时间，却是拉式方程在先，哈氏原理在后。



最小能量原理原理在理论力学中非常重要，主要原因和意义如下:

1. 最小能量原理将经典力学的动力学与能动学统一起来，建立了经典力学最基本的变分原理。

2. 根据最小能量原理，系统在允许的所有可能轨迹中，真实轨迹使最小能量动作量 Stationary ，即使其第一变分为零。

3. 最小能量原理不仅可用于定量推导力学方程组，而且包含了经典力学定律的深层物理内涵。

4. 它表明系统的运动平衡状态随时间的变化满足最小功原理，这个原理具有很强的广度。

5. 最小能量原理是量子力学、广义相对论等更高水平理论的基础，也是经典力学的基础框架。

6. 很多微分方程如拉格朗日方程组和哈密顿方程组，都可以直接从最小能量原理推导得到。

总之，最小能量原理从根本上统一了经典力学的能动关系和变分原理，给出力学运动的最小作用路线理论基础，在理论力学中具有极其重要的地位。

3、 最小能量原理和神经网络

今年的诺贝尔物理学奖获得者约翰·霍普菲尔德（John Hopfield）创建了一种联想存储器，可以存储和重建图像以及数据中其他类型的模式。Hopfield 网络可以存储模式并具有重新创建它们的方法。当给网络一个不完整或轻微扭曲的模式时，该方法可以找到最相似的存储模式。



Hopfield 网络旨在为人类的联想记忆功能建一个简单的模型。什么是联想记忆？举个例子，比如说现在让你回忆高中的时候发生过的一些事情，可能会比较困难，但假如让你回到高中的教室，听一些当年的音乐，就可以大大帮助你的回忆。也就是说，你的大脑里实际上存储着大量的长期记忆，但你并不能完全随心所欲地检索你的记忆，尤其是对一些尘封已久的记忆来说，需要一些辅助信息来引导你通过联想找回记忆。



在神经科学中，我们通常认为大脑的状态完全由每一个神经元的 firing rate（放电率，即膜电压每秒超过几次阈值）决定。比如说一个人的大脑有 N 个神经元负责记忆相关，那么每个神经元都有一根代表自己 firing rate 的坐标轴，记忆脑区每一时刻的状态都可以用这 N 维空间中的一个点来表示。

于是，联想记忆功能可以被抽象为下图这般的神经动力学：空间中任何一个点都代表大脑可能的一个状态，每一个吸引子（黑点）编码了一份记忆，同时这些吸引子把整个空间划分成了各自的吸引域，如果大脑状态落进了某个吸引域就相当于是拥有了一些辅助信息，之后会被吸引到相应的吸引子那里，这个吸引的过程就是联想或者说找回记忆（memory retrieval，pattern completion）的过程。



所以，势能函数每一个 local minimum（极小值点）都构成一个吸引子，可以编码一份记忆。而势能函数的具体 landscape 完全由突触性质决定，这对应的科学事实即为：长期记忆存储在突触网络之中。意味着，所谓的回忆起某件事，就是大脑某个脑区回到了当时记忆 /感觉时的状态，而回忆的过程，即是向势能极小值点滑下的过程。

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