分解质因数（二）

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分解质因数（二）

原创  小初高数学窝儿  小初高数学窝儿  2025 年 03 月 06 日  河北

概论

许多题目，特别是一些竞赛题，初看起来很玄妙，但它们都与乘积有关，对于这类题目，我们可以用分解质因数的方法求解。因此，掌握并灵活应用分解质因数的知识，能解答许多一般方法不能解答的与积有关的应用题。

例 1 三个质数的和是 80 ，这三个数的积最大可以是多少？

分析 三个质数相加的和是偶数，必有一个质数是 2 。80-2=78 ，剩下两个质数的和是 78 ，而且要使它的积最大，只能是 41 和 37 。因此，这三个质数是 2 、37 和 41 。

最大积是 2×37×41=3034 。

练习一

1，有三个质数，它们的乘积是 1001 ，这三个质数各是多少？

2，张明是个初中生，有一次，他参加数学竞赛后，所得的名次、分数和他的岁数三者的积是 2910 。求张明的成绩、名次和年龄分别是多少？

3，写出若干个连续的自然数，使它们的积是 15120 。

【答案】

1.  1001=7×11×13 。

2.  2910=2×3×5×97，所以成绩是 97 分，名次第 2 ，年龄 15 岁 。

3.  15120=2×2×2×2×3×3×3×5×7=5×6×7×8×9 。

例 2 长方形的面积是 375 平方米，已知它的宽比长少 10 米，长和宽的和是多少米？

分析 这道题如果用方程来解会比较麻烦，我们可以把 375 分解质因数看一看。375=5×5×5×3 ，因为 5×5 比 5×3 正好多 10 ，所以，此长方形的长是 5×5=25 米，宽是 5×3=15 米，它们的和是 40 米。

练习二

1，237 除以一个两位数，所得的余数是 6 ，请写出适合于这个条件的所有两位数。

2，有 4 个孩子，恰好一个比一个大 1 岁，4 人的年龄积是 3024 ，这 4 个孩子中最大的几岁？

3，有一块长方形的场地，它是由 319 块 1 平方分米的水泥方砖铺成的，求这块长方形场地的周长。

【答案】

1.  237-6=231 ， 231=3×7×11=21×11=33×7=3×77 ，两位数有 21,33,77,11 。

2.  3024=2×2×2×2×3×3×3×7=6×7×8×9 ，最大年龄是 9 岁 。

3.  319=11×29 ， 周长 =(29+11)×2=80（分米）。

例 3 某班同学在班主任老师带领下去种树，学生恰好平均分成三组，如果师生每人种树一样多，一共种了 1073 棵，那么，平均每人种了多少棵？

分析 根据每人种树棵数×参加人数=1073 ，把 1073 分解质因数：1073=29×37 ，再根据学生恰好平均分成三组可知：参加种树的人数是 3 的倍数多 1 ，由于只有 37 比 3 的倍数多 1 ，所以有 37 人，平均每人种 29 棵。

练习三

1，一个长方体的长、宽、高是三个连续的自然数。已知这个长方体的体积是 9240 立方厘米，那么，这个长方体的表面积是多少？

2，老师用 216 元买一种钢笔若干支，如果每支钢笔便宜 1 元钱，那么他就能多买 3 支。每支钢笔原价多少元？

3，王老师带同学们擦玻璃，同学们恰好平均分成 3 组。如果师生每人擦的块数同样多，一共擦 111 块，那么，平均每人擦了多少块？

【答案】

1.  9240=20×21×22 ，表面积=(20×21+20×22+21×22)×2=2644（平方厘米）。

2.  216=8×27=9×24 ，原价每支 9 元。

3.  111=3×37 ，每人擦 3 块。

例 4 把 155/186 和 221/187 约分。

分析 这两个分数的分子和分母都比较大，不能一眼看出分子和分母的公约数。我们可以先求出分子与分母的差，如果差是质数，就直接用这个质数去约分；如果差是合数，就把这个合数分解质因数，然后用其中的一个质数去约分。

（1）186-155=31，31是质数，用 31 约分得：155/186=5/6 ；

（2）221-187=34，34=2×17，用 17 约分得：221/187=13/11 。

练习四

请用上面的方法把下面的几个分数约分：

46/69 ，143/117 ， 247/323 ，161/253 。

【答案】

46/69=2/3 ，143/117=11/9 ，247/323=13/17 ，161/253=7/11 。

例 5 小明用 2.16 元买了一种画片若干张，如果每张画片的价钱便宜 1 分钱，那么他还能多买 3 张。小明买了多少张画片？

分析 根据题意可知：画片的单价×张数=216 分，它们乘积的质因数和 216 的质因数相同。我们可以先把 216 分解质因数，再写成两数相乘的形式分析：216=2^3×3^3=8×27=9×24 ，显然，216 分可以买 8 分的画片 27 张，也可以买 9 分的画片 24 张。所以，小明买了 24 张画片，符合题意。

练习五

1，求 2310 的约数中，除它本身以外最大的约数是多少？

2，自然数 a 乘以 2376 ，所得的积正好是自然数 b 的平方，求 a 最小是多少？

3，将 750 元奖金平均分给若干个获奖者，如果每人所得的钱数化成角为单位的数就正好是得钱人数的 12 倍，求获奖人数和每人分得的钱数。

【答案】

1.  2310=2×3×5×7×11 ，最大公约数是 1155 。

2.  2376=2×2×2×3×3×3×11 ，a 最小是 2×3×11=66 。

3.  750=25×30 ，300÷25=12 ，有 25 人获奖，每人 30 元。

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