比丘成桐更“全能”的数学大师——米尔诺：菲尔兹+沃尔夫+阿贝尔

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比丘成桐更“全能”的数学大师——米尔诺：菲尔兹+沃尔夫+阿贝尔

原创  数理周四  数理拾光  2025 年 02 月 20 日  北京



在华人世界，丘成桐的名字如雷贯耳。这位数学大师，以其在几何分析领域的卓越贡献，赢得了菲尔兹奖和沃尔夫奖的殊荣，成为一代华人数学家的骄傲。然而，在现代数学的浩瀚星空中，还有一颗星辰，比丘成桐更加“全能”——他不仅摘得了菲尔兹奖和沃尔夫奖，更将数学界的另一至高荣誉——阿贝尔奖收入囊中。

他就是约翰·威尔拉德·米尔诺（John Willard Milnor ，1931 年 2 月 20 日 - ）。米尔诺的故事，不是传统意义上的神童传奇，而是一曲在普林斯顿大学静谧角落里缓缓奏响，最终震撼整个数学界的拓扑诗篇。这诗篇，写满了对未知的渴望，对合作的珍视，对挑战的坦然，以及对数学之美纯粹而持久的热爱。

拓扑学，这门被戏称为“橡皮泥几何学”的学科，关注的是物体在连续形变下的不变性质。想象一块柔软的橡皮泥，你可以随意拉伸、弯曲、揉捏，只要不撕裂或粘合，它的拓扑性质就不会改变。一个咖啡杯和一个甜甜圈，在拓扑学家眼中，是完全相同的，因为它们都可以通过连续形变相互转化。而米尔诺，正是这片“柔性”几何领域的巨匠，他的工作不仅深化了我们对空间的理解，更开辟了数学研究的崭新天地。

一、 普林斯顿的“不合群者”

1931 年，米尔诺出生于美国新泽西州的奥兰治市。他的父亲是一位工程师，母亲是一位家庭主妇。与许多数学大师不同，米尔诺并非从小就展现出过人的数学天赋。在普林斯顿大学的本科生涯初期，他甚至自认为“不善社交”，难以融入周围的环境。然而，命运的转折点出现在数学系的公共休息室。

那是一个充满活力和智慧碰撞的地方。在那里，米尔诺找到了自己的精神家园。他回忆道：“人们在聊数学，玩游戏，你可以随时过来放松一下。我觉得那里的讲座很有趣。我在那里比以往任何时候都感到更自在，从那以后我就一直与数学为伴。” 在这里，没有拘谨的课堂氛围，有的是自由的讨论、思想的交锋，甚至是智力游戏的乐趣。正是在这种宽松、开放的环境中，米尔诺对数学的热情被点燃，如同火种遇到干柴，一发而不可收。



在普林斯顿，米尔诺的天赋开始绽放。他不仅两次获得普特南研究员（Putnam Fellow）这一本科生数学竞赛的最高荣誉，更在 19 岁时就证明了法里-米尔诺定理（Fáry–Milnor theorem），解决了纽结理论中一个悬而未决的问题。这一定理指出，任何一个纽结的全曲率都大于 4π 。这个成果，对于一个尚未完成本科学业的年轻人来说，无疑是惊人的。它不仅展示了米尔诺过人的数学才华，也预示了他未来在拓扑学领域的非凡成就。

1951 年，米尔诺完成了题为“链环群”（Link groups）的学士论文，师从拉尔夫·福克斯（Ralph Fox）。福克斯是一位著名的拓扑学家，专攻纽结理论。在福克斯的指导下，米尔诺继续在普林斯顿攻读博士学位，并于 1954 年完成了题为“链环的同痕”（Isotopy of links）的博士论文。他的博士论文进一步深化了对纽结和链环的研究，引入了新的不变量——米尔诺不变量，为纽结理论的发展做出了重要贡献。值得一提的是，米尔诺的出色表现，甚至让普林斯顿大学在他尚未完成博士学业时，就向他抛出了橄榄枝，提供了一个教职。

在普林斯顿期间，他还与约翰·纳什（John Nash ，电影《美丽心灵》的原型）有过不少交集。纳什是一位极具天赋但行为有些古怪的数学家，他在博弈论和微分几何领域都有着开创性的贡献。米尔诺和纳什经常在公共休息室相遇，讨论数学问题，甚至一起玩“Kriegspiel”（一种盲棋游戏）和“Nash”（一种拓扑游戏，也称为“Hex”）。这些交流，无疑对米尔诺的学术视野产生了积极的影响。

二、 七维球面上的“意外”

1956 年，米尔诺发表了一篇具有划时代意义的论文——《论同胚于 7 维球面的流形》（On manifolds homeomorphic to the 7-sphere）。这篇论文，不仅为他赢得了 1962 年的菲尔兹奖（Fields Medal ，数学界的最高荣誉, 被视为 40 岁以下数学家的最高奖项），更彻底改变了拓扑学的发展轨迹。

在传统的观念中，一个 n 维球面，就是一个“标准”的球面，就像我们熟悉的三维球面一样。然而，米尔诺却发现，在 7 维空间中，存在着一些“奇异”的球面，它们在拓扑上与标准球面等价，也就是说，可以通过连续形变相互转化。但在微分结构上，它们却与标准球面有着本质的区别。这意味着，在这些“奇异球面”上，微积分的规则会发生微妙的变化。
米尔诺将这些具有非标准微分结构的球面称为“奇异球面”（exotic sphere）。他证明了 7 维球面存在 28 种不同的“光滑”版本（如果考虑定向，则为 15 种）。这一发现，犹如一颗重磅炸弹，在数学界引起了巨大的震动。它颠覆了人们对高维空间的直观认识，也为微分拓扑学的发展奠定了基础。

米尔诺后来回忆说，这一发现完全是“偶然”的。他当时正在研究一些 7 维流形，从两个不同的角度出发，却得到了相互矛盾的结果。他百思不得其解，最终意识到，问题出在人们长期以来想当然的一个假设上——拓扑等价的流形，其微分结构也必然等价。而 7 维球面，恰恰打破了这一“常识”。

为了更好地理解米尔诺的发现，我们可以做一个类比。想象一个普通的苹果，在拓扑学家的眼中，它可以被捏成任意形状，只要不撕裂或粘合。但是，米尔诺告诉我们，存在一些“奇异”的苹果，它们看起来和普通的苹果一样，但“果皮”的纹理却有着本质的区别。这些“奇异”的苹果，就是 7 维球面上的不同微分结构。

米尔诺的发现，不仅具有重要的理论意义，也为后来的研究开辟了新的方向。他和米歇尔·克维尔（Michel Kervaire）合作，对奇异球面进行了系统研究。埃格伯特·布里斯科恩（Egbert Brieskorn）则找到了复 5 维空间中 28 个复超曲面的简单代数方程，这些超曲面与一个围绕奇点的 9 维小球的交集，恰好对应着 7 维球面上的 28 种不同微分结构。

三、 从“Hauptvermutung”到动力系统：“全能”的数学探索

除了在微分拓扑领域的开创性工作，米尔诺在数学的其他领域也留下了深刻的印记，展现了他作为一位数学大师的深厚功底。

1961 年，他证明了两个单纯复形可以是同胚（拓扑等价）但组合不同的，从而推翻了长期存在的“Hauptvermutung”猜想。这个猜想认为，任何两个同胚的单纯复形，都存在同构的细分。米尔诺的反例表明，这一猜想在一般情况下是不成立的。

1984 年，米尔诺在动力系统领域引入了“吸引子”（attractor）的精确定义，即现在所称的“米尔诺吸引子”。这一概念推广了传统的吸引子概念，包含了不稳定的吸引子，为动力系统的研究提供了新的视角。

米尔诺的研究兴趣广泛，涉及代数 K 理论、微分几何、代数拓扑、纽结理论、博弈论、李群等多个领域。他的工作，常常将看似无关的领域联系起来，展现出数学内部的深刻统一性。例如，他将代数几何中的托德多项式（Todd polynomials）引入到拓扑学中，揭示了微分结构背后隐藏的算术规律。 这种跨领域的融会贯通，正是他“全能”的体现。

20 世纪 90 年代后期，米尔诺将目光投向了动力系统，特别是全纯动力系统。他与威廉·瑟斯顿（William Thurston）合作，研究了一维动力系统中的“揉搓理论”（kneading theory），为该领域的发展奠定了基础。

四、 “慢学习者”的智慧

米尔诺不仅是一位杰出的研究者，还是一位备受尊敬的数学教育家和著作家。他的多部著作, 都以其清晰的逻辑、优雅的文笔和深刻的洞见，成为数学领域的经典之作。这些著作引导了一代又一代数学学子步入数学的殿堂。

米尔诺曾坦言，自己是一个“慢学习者”，需要反复阅读、思考、写作，才能真正理解一个问题。他说：“我发现要理解某些东西，我必须把它写下来。如果我写得足够清楚，让自己能够理解，那么我希望其他人也能理解它。” 这种“慢”，并非迟钝，而是一种精益求精、追求彻底理解的态度。正是这种态度，造就了他著作的独特魅力——清晰、简洁、深刻。
在计算机尚未普及的年代，米尔诺的写作过程充满了“折磨”。他不断修改手稿，推翻重来，再修改，再推翻……这让负责打字的秘书们苦不堪言。幸运的是，计算机的出现，极大地解放了米尔诺的“写作强迫症”，让他可以随心所欲地修改、调整，直到满意为止。

五、 数学的“马赛克”

米尔诺对数学的本质有着深刻的理解。他认为，数学既有“被发现”的一面，也有“被发明”的一面。“你可以从合理的假设中推导出结论，无论谁来推导，这些结论都应该是相同的，但你表达的确切方式，你使用的基本概念，可能会有所不同。” 他将数学比作一幅“由来自许多不同文化、说着许多不同语言、跨越数百年的贡献者们共同构建的奇妙马赛克”。这幅马赛克，既包含了伟大的思想，也包含了无数的尝试和错误。米尔诺谦逊地将自己的成就归功于前人的积累和同行的启发。他强调合作在数学研究中的重要性：“如果你向别人解释某件事情，这有助于你更好地理解它。当然，如果有人向你解释某件事情，这可能非常重要。”

米尔诺还打趣地将数学家比作刘易斯·卡罗尔（Lewis Carroll）笔下的“红皇后”——为了保持在原地，必须不停地奔跑。数学的发展日新月异，新的思想、新的方法层出不穷，数学家们必须不断学习、不断探索，才能跟上时代的步伐。

六、 孤独、荣誉与传承：三大奖项的加冕

尽管成就斐然，米尔诺的数学之路并非一帆风顺。在普林斯顿高等研究院工作的那些年，他坦言自己感到了“孤独”。那里虽然是学术研究的圣地，但缺乏与学生的互动，让他感到有些“与世隔绝”。1989 年，他选择离开普林斯顿，前往纽约州立大学石溪分校任教。这一方面是出于家庭原因——他的妻子杜萨·麦克达夫（Dusa McDuff）也是一位著名的数学家，专攻辛拓扑——另一方面，也是为了寻求一个更具互动性的学术环境。这表明，即使是最杰出的数学家，也需要同行的交流、思想的碰撞，以及家庭的支持。

米尔诺一生获奖无数, 他是数学界获得了所有顶级荣誉的数学家之一。这些奖项，是对他卓越成就的肯定，也是对他深远影响的认可：

● 菲尔兹奖（Fields Medal , 1962）： 因其在微分拓扑学，特别是 7 维球面上存在奇异微分结构的开创性工作而获奖。菲尔兹奖被誉为“数学界的诺贝尔奖”，是 40 岁以下数学家的最高荣誉。

● 沃尔夫奖（Wolf Prize , 1989）： 表彰他在几何学和拓扑学中的一系列独创性发现。沃尔夫奖评委会特别指出，他的工作从代数、组合和可微等多个角度，为拓扑学开辟了新的视野。沃尔夫奖是国际性的重要奖项，旨在促进科学和艺术的发展。

● 阿贝尔奖（Abel Prize , 2011）： 肯定他在“拓扑学、几何学和代数学中的开创性发现”。 阿贝尔奖委员会强调了他的工作对整个数学领域产生的深远影响。阿贝尔奖设立较晚，旨在弥补诺贝尔奖中没有数学奖项的遗憾，是数学界的终身成就奖。

米尔诺还培养了一大批优秀的数学家，包括琼·福克曼（Jon Folkman）、约翰·马瑟（John Mather）、劳伦特·西本曼（Laurent C. Siebenmann）和迈克尔·斯皮瓦克（Michael Spivak）等。 他的许多学生都成为了各自领域的佼佼者，并将米尔诺的学术思想发扬光大。 他的学术传承，如同枝繁叶茂的大树，为数学的未来发展提供了源源不断的动力。

七、 无界的心灵

米尔诺的故事，远不止于数学。他热爱登山、滑雪，喜欢阅读科幻小说。这些爱好，为他繁忙的学术生涯增添了一抹亮色，也展现了他多姿多彩的人生。约翰·米尔诺，一位用数学语言书写诗篇的拓扑学家，一位在抽象世界中自由翱翔的探索者，一位谦逊而富有洞见的智者。他对数学的本质有着深刻的理解，他认为数学研究不应被“自上而下”地指导，人们应该能够自由地追随自己的想法。

他的工作，不仅拓展了人类认知的边界，更为后来的数学家们开辟了无限广阔的研究空间。他的成就，将永远镌刻在数学的史册上，激励着一代又一代的数学人，去探索球面之上、空间深处，那无界的、充满诗意的数学风景。正如他所说：“如果我能给出一个抽象的证明，我会比较高兴。但如果我能得到一个具体的、可计算的证明，并且实际上产生数字，我会更高兴。我更像是一个计算机成瘾者，因为它为你提供了正在发生的事情的明确标准。我有一种视觉化的思维方式，如果我能看到我正在处理的东西的图片，我会很高兴。”

他用自己的一生，诠释了数学的真谛：好奇、探索、合作、传承，以及对美的永恒追求。而这，或许才是数学这门古老而常新的学科，最迷人、最动人之处。他的故事，也启示着我们，即使在看似“无用”的纯粹数学领域，也蕴藏着改变世界的巨大力量。米尔诺，这位获得了菲尔兹奖、沃尔夫奖和阿贝尔奖的数学大师，以其横跨多个领域的“全能”成就，在数学的星空中，留下了耀眼光芒。

值此约翰·威尔拉德·米尔诺诞辰 94 周年之际，谨以此文致敬。

数理拾光