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a,b,c∈R,a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)=1 ,求 a^2/(b+c)+b^2/(c+a)+c^2/(a+b)

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发表于 2025-4-4 21:59 | 显示全部楼层 |阅读模式

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发表于 2025-4-5 09:39 | 显示全部楼层
【解】
令等式 ab+c+ba+c+ca+b=1 为 (1)式;

(1)式两边×a并移项得(2)式
a2b+c+aba+c+aca+b=aa2b+c=aaba+caca+b   ……(2)

(1)式两边×b并移项得(3)式
abb+c+b2a+c+bca+b=bb2a+c=babb+cbca+b  ……(3)

(1)式两边×c并移项得(4)式
acb+c+bca+c+c2a+b=cc2a+b=cacb+cbca+c  ……(4)

(2)+(3)+(4) 得
a2b+c+b2a+c+c2a+b=aaba+caca+b+bbca+babb+c+cacb+cbca+c
=aab+bca+cac+bca+b+bab+acb+c+c
=aba+ca+cca+ba+b+bab+cb+c+c
=abc+ba+c
=0

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謝謝Ysu2008老師  发表于 2025-4-6 12:29
112 新竹國  发表于 2025-4-5 20:16
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发表于 2025-4-5 11:16 | 显示全部楼层
用 mathematica 的解法:

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謝謝天仙草老師  发表于 2025-4-6 12:28
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发表于 2025-4-5 11:37 | 显示全部楼层
楼上 Ysu2008 的解答很好!已收藏。
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发表于 2025-4-6 18:53 | 显示全部楼层
本帖最后由 波斯猫猫 于 2025-4-7 06:26 编辑

题:已知a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)=1 ,
        求 a^2/(b+c)+b^2/(c+a)+c^2/(a+b) .

思路(新思维,半代法):令a+b+c=t .

∵ a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)=1 ,

∴  a^2/(b+c)+b^2/(c+a)+c^2/(a+b)

=a(t-b-c)/(b+c)+b(t-c-a)/(c+a)+c(t-a-b)/(a+b)

=t[a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)]-a-b-c

=t[a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)]-t=0.

简洁明快,事半功倍。

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謝謝波斯猫猫老師的半代法  发表于 2025-4-6 21:26
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发表于 2025-4-6 22:43 | 显示全部楼层
楼上 波斯猫猫 的解答已收藏。
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发表于 2025-4-7 10:23 | 显示全部楼层
所谓半代法:故名思意,在同一问题同一量中,为了易于解决问题,

只需部分代换而不是全部,称这样的代换为半代法.

如下题的解法中就有“半代法”的影子.

题:已知整数 x,y,z 满足 x^3+y^3+z^3=x+y+z=3,求 |x|+|y|+|z| 的最大值.

思路:根据对称性,不妨设三个整数x≥y≥z,且z为奇数. 由条件有x+y=3-z,

∴  x^2+y^2-xy=(3-z^3)/(3-z),即xy=-3z+8/(3-z).

∴  z-3=±8,±4,±2,即z=11,-5,7,-1,5,1.

∴  x+y=3-z=-8,且xy=-3z+8/(3-z)=-34.   x+y=3-z=8,且xy=-3z+8/(3-z)=16.
   
    x+y=3-z=-4,且xy=-3z+8/(3-z)=-23.   x+y=3-z=4,且xy=-3z+8/(3-z)=5.
   
   x+y=3-z=-2,且xy=-3z+8/(3-z)=-19.   x+y=3-z=2,且xy=-3z+8/(3-z)=1.

显然,6个方程组只有(2)和(6)有整数解x=y=4,z=-5和x=y=z=1.

∴  max(|x|+|y|+|z|)=13.
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发表于 2025-4-17 10:21 | 显示全部楼层
思路(学无止境):受半代法思路的影响,还可以更简捷地推出其值.

显然a+b+c≠0  (否则-3=a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)=1,矛盾 ),

由条件有 (a+b+c)[a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)]=a+b+c,

或 a^2/(b+c)+b^2/(c+a)+c^2/(a+b)+a+b+c=a+b+c,

即a^2/(b+c)+b^2/(c+a)+c^2/(a+b)=0.
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