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教科书在证明√2不是有理数过程中犯了5个错误(单页简明版)

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发表于 2025-4-6 19:23 | 显示全部楼层 |阅读模式
教科书在证明√2不是有理数过程中犯了5个错误(单页简明版)
杨六省(yangls728@163.com
①√2=p/q(p,q 互质)能作为√2不是有理数的反论题吗?
不能。人教版(七下第58页)和北师大版(八上第24页)都把√2=p/q(p,q 互质)作为√2不是有理数的反论题,就是把有理数与无理数之间的矛盾(指√2=p/q中的p和q能否都是整数)变成了有理数系统内的矛盾(指√2= p/q中的两个整数p与q能否互质),这是方向性错误,如同用境内法代替入境法,注定失败!事实胜于雄辩:下文中的③、④、⑤均表明教科书证明中的逻辑链条是断裂的,因而论证是无效的。简言之,√2=p/q(p,q 互质)(即√2是最简分数)只是一个无意义无真假的语句而非命题,当然不能做反论题。
②由√2=p/q(p,q 都是整数)能推出√2=p/q(p,q 互质)吗?
不能。否则,以同样的理由也可以由√2=p/q(p,q 都是整数)推出√2=p/q(p,q 不互质)。但是,由√2=p/q(p,q 都是整数)推出相互矛盾的结论是荒谬的。归根结底,教科书不该对反论题√2=p/q(p,q 都是整数)的右端套用“分数总可以写成最简分数的形式”,因为它徒有分数之名(注:关于由反论题√2=p/q(p,q 都是整数)不能推出√2=p/q(p,q 互质),为了帮助理解,我们还可以举一个道理相同但更贴近生活常识的例子:某人H从未打过父亲。反论题应该是H打过父亲。但是,由反论题“H打过父亲”是推不出“H已经停止打父亲”或“H尚未停止打父亲”的,因为推理的前提条件并不真实存在)。教科书中的做法,就是把反论题“√2是分数”中的“分数”变成了它的一个下位概念“最简分数”,这是偷换概念。需要说明的是,我们务必把应用反论题参与推理和对反论题本身的推理区分开来。前者不会使反论题发生改变,但后者则不然,因而后者是不合理的推理。很明显,本文中的①与②是一致的。
③由p2是偶数能推出p也是偶数吗?
不能。理由是,教科书在证明中首先应用了q是整数这个假设,否则就无法得出p2是偶数之结论。接下来我们看到的便是“由于p2是偶数,p必然也是偶数”这一推理。如果引号中的推理是合理的,再加上此前的q是整数这个假设,那就是说,对于√2=p/q,假设q是整数,则p是偶数。由于偶数也是整数,从而说明√2可表成两个整数之比,但这与证明目的相矛盾,因此,引号中的推理是不成立的。
有人反驳说:为了否定假设,反证法要求假设必须参与后续推理以推出矛盾。那么,应用“p是整数”这个假设由p2是偶数推出p是偶数,这难道不合理吗?笔者认为,这种说法将陷于自相矛盾。理由是,当推出了p是偶数的结论后,依据反证法,理应揭示会有矛盾发生,从而才有可能否定“p是整数”这个假设。但是,教科书并没有否定“p是整数”这个假设。反驳者以为动机可用来进行反驳,殊不知动机已被实际结果所否定,故反驳无效。
④前面推出了p是偶数,后面还能推出q也是偶数吗?
不能。因为这与此前已确定了的“p,q互质”矛盾。
⑤由“p和q都是偶数”与“假设p与q互质”相矛盾能推出√2不是有理数吗?
不能。上述矛盾只能说明“p与q互质”的假设不成立,等价的说法是“p与q非互质”成立。但后者蕴涵“p和q都是整数”,所以,由上述矛盾不能推出√2不是有理数。
说明:笔者关于√2不是有理数的证明独立于其他证明,所以,笔者在说理中有理由把√2不是有理数作为论据加以应用。
阅读此文的朋友,如果你能够认可上述5条意见中的哪怕一条(5条意见均表明论证的逻辑链条已经断裂),你都可以对教科书关于√2不是有理数的证明说不!当然,④最简单。
发表于 2025-4-9 00:33 | 显示全部楼层
楼主对论证,数理逻辑这些认识都是罕见荒谬的.几十年来不被大多数人认同,太无聊.
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