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H 为 ΔABC 垂心,HD⊥AB,E,H 关于 BC 对称。ΔADE 外接圆与 BC 交于 P,Q。证:CP=CQ

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发表于 2025-4-13 18:46 | 显示全部楼层 |阅读模式
设 H 为锐角三角形ABC的垂心,D 为从 C 向 AB 所作高的垂足,E 为 H 关于 BC 的对称点。假设三角形 ADE \
的外接圆与直线 BC 相交于两个不同的点 P 和 Q。证明:C 是 PQ 的中点。




此题来源于本论坛 数学新闻  http://www.mathchina.com/bbs/for ... &extra=page%3D1

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 楼主| 发表于 2025-4-13 18:53 | 显示全部楼层
以 mathematica 软件作计算平台、用复斜率几何编程的证明方法如下:

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 楼主| 发表于 2025-4-14 21:03 | 显示全部楼层
本帖最后由 天山草 于 2025-4-14 21:15 编辑

                                 
如图,由 E、H 关于 BC 对称知 E 在 △ABC 的外接圆上。这是因为有定理:三角形的垂心关于三边的对称点均在三角形的外接圆上。
作该圆的直径 BF,取 FC 中点 M。易证 AHCF 是平行四边形,则 AECF 是等腰梯形,所以由 M 是 FC 中点知 MA = ME。
又 ADCF 是直角梯形,所以由 M 是 FC 中点知 MA = MD。
综上得 MA = MD = ME,所以 M 是 △ADE 外接圆的圆心。又由 FC⊥BC,即 MC⊥PQ,故 CP = CQ。


以上是悠闲数学网站 Kuing 的证明。 

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发表于 2025-4-15 09:27 | 显示全部楼层
楼上 天山草 的帖子很好!已收藏。
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