H 为 ΔABC 垂心，HD⊥AB，E,H 关于 BC 对称。ΔADE 外接圆与 BC 交于 P,Q。证：CP=CQ

天山草

设 H 为锐角三角形ABC的垂心，D 为从 C 向 AB 所作高的垂足，E 为 H 关于 BC 的对称点。假设三角形 ADE \
的外接圆与直线 BC 相交于两个不同的点 P 和 Q。证明：C 是 PQ 的中点。



此题来源于本论坛 数学新闻  http://www.mathchina.com/bbs/for ... &extra=page%3D1

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以 mathematica 软件作计算平台、用复斜率几何编程的证明方法如下：

Future_maths

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如图，由 E、H 关于 BC 对称知 E 在 △ABC 的外接圆上。这是因为有定理：三角形的垂心关于三边的对称点均在三角形的外接圆上。
作该圆的直径 BF，取 FC 中点 M。易证 AHCF 是平行四边形，则 AECF 是等腰梯形，所以由 M 是 FC 中点知 MA = ME。
又 ADCF 是直角梯形，所以由 M 是 FC 中点知 MA = MD。
综上得 MA = MD = ME，所以 M 是 △ADE 外接圆的圆心。又由 FC⊥BC，即 MC⊥PQ，故 CP = CQ。

以上是悠闲数学网站中 Kuing 的证明。　

luyuanhong

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