有趣的四位数

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有趣的四位数

作者：蒋迅

一，ChatGPT 的选择

在写了“有趣的三位数”，我突发奇想，有哪些有趣的 4 位数字呢？现在有了聊天机器人，也许我可以请教了。于是我（在 2024 年 7 月）问了 ChatGPT 。老实说，ChatGPT 给的答案真地不怎么样。我反复提出了更细致的描述，它还是没有任何提高，甚至开始胡说八道了。

哈哈，这家伙还挺保守的。这次只给了六个，其中一个重复了，四个给错了。只对了一个。我说：“你能不能给我更多，尤其是一些大于 5000 的。”ChatGPT 大概是不耐烦了，下面是它给的八个“有趣的素数”:

2024 年 11 月，我再次向 ChatGPT 提出了同样的问题。它的回答质量明显提高了。它先是问我要哪个领域的四位数。然后分别按回文数、完全平方数、完全立方数、斐波那契数、素数和具有特殊性质的数回答了我的要求。我进一步要求它给出一些有故事的数。这一次它的回答已经让我比较满意了。它给出的是：1729，1089，8128，6174，1260，1001，1456，和 3435 。

二，我选择的四位数

下面是我选出的有故事的四位数。除特别指明处外，所有的数字都是 10 进制。



先说说 1729 吧。这是一个连 ChatGPT 都推荐的数。它是一个拉马努金的著名故事：在拉马努金病重期间，研究数论的英国数学家哈代（G. H. Hardy）前往探望。哈代说：“我乘的士来，车牌号码是 1729 ，这数真没趣，希望不是不祥之兆。”拉马努金答道：“不，那是个很有趣的数。可以用两个立方之和来表达而且有两种表达方式的数之中， 1729 是最小的。”（即 1729=1^3+12^3=9^3+10^3），后来利特尔伍德（John Edensor Littlewood）回应这宗轶闻说：“每个整数都是拉马努金的朋友。”再后来，人们把象 1729 这样的能以个不同的方法表示成两个正立方数之和的正整数称为的士数，也称为哈代-拉马努金数。最小的能以 n 种方式写成两个正立方数之和的正整数称为第 n 个的士数（taxicab number）。



在“有趣的三位数”一文中，我们看到了四个水仙花数（narcissistic number）。水仙花数也称为超完全数字不变数（pluperfect digital invariant, PPDI）、自恋数、自幂数、阿姆斯壮数或阿姆斯特朗数（Armstrong number），用来描述一个 N 位非负整数，其各位数字的 N 次方和等于该数本身。现在来到四位数，我们有三个水仙花数（也叫四叶玫瑰数）：1534 , 8208 和 9474 。这很容易验证，比如：1634=1^4+6^4+3^4+4^4 。一般地，我们可以写出一个程序来找出所有的水仙花数。总共只有 88 个（十进制的）水仙花数。如果把水仙花数的定义稍作推广，我们还可以得到一些有趣的结果。比如，让我们允许根号，那么 1764 是一个水仙花数计算出乎意料，因为 1764=(1×7×6)^√4 。

我们还谈到了几乎整数。在四位的情况中，我们要说两对数组。大家知道，费马大定理说的是不定方程 x^n+y^n=z^n 在 n＞2 时无解。但当 n=12 时，我们有：

(1782^12 + 1841^12) / 1922^12 = 0.99999999972…

(3987^12 + 4365^12) / 4472^12 = 1.0000000000189…



这两组数都是《辛普森一家》中的镜头。《辛普森一家》还有许多数学故事：从圆周率到梅森素数，从欧拉方程到世界七大数学难题之一的 NP 完全问题。这部由美国福克斯广播公司出品的情景喜剧动画片不仅仅是超现实幽默，还蕴藏着数不清的数学难题及科学知识。

下面说说黑洞数 6174 。请读者在心里想一个四位数，但这四位数字不能完全相同，也就是说不能是 1111 ，2222 这样的数。比如我们选了 2024 。现在重新把这四位数按从大到小排列得到一个数，再把这四位数按从小到大排列得到另一个数。对于 2024 ，我们得到了 4220 和 0224 。用大数减去小数，我们获得一个新的数字。比如，我们有 4220 - 0224 = 3996 。用这个数重复上面的步骤，一直进行下去，我们就会得到 6174 。一旦得到了这个数，这个过程就永远停留再了这个数字上。超模君选了 1314 。下面是他的计算过程：



发现黑洞数 6174 的是印度数学家卡布列克（Dattatreya Kaprekar，1905-1986）。他平时喜欢摆弄数字。后来于 1955 年提出了这个数字，所以也被称为卡布列克常数。日本大阪经济大学教授西山豊（Yutaka Nishiyama）认为，6174 真是个“谜一样的数字”。在一篇网上文章中，西山教授解释说，他用电脑查证是否所有的四位数都能在有限步骤内得出 6174 。他的发现是，根据卡普雷卡尔的算法，所有四位数（只要四位数不重复）最多只需要 7 步运算就会得出 6174 。“如果 7 步还没有得出 6174 ，那一定是你算错了。重来一遍吧。”

所有的四位数都有它自己独特的地方。这个网站（https://erich-friedman.github.io/numbers.html）描述了从 0 到 9999 每一个数的各自特点。还有其他网站描述整数的特性。基于此理由，我无法理解为什么 ChatGPT 会如此失败。但我们更喜欢那些有故事的四位数。让我们最后再介绍一个四位数 -- 雷劈数。

雷劈数是自然数的一类，若正整数 X（在 n 进位下）的平方可以分割为二个数字，而这二个数字相加后恰等于 X ，那么 X 的平方就是（ n 进位下的）一个雷劈数。例如 55^=3025 ，而 30+25=55 ，那么 3025  就是一个雷劈数。雷劈数也叫做卡布列克数，算是另一类卡布列克数。传说卡布列克在一次旅行中遇到猛烈的暴风雨。在电闪雷鸣过后，他看到路边一块牌子被雷电劈成了两半，一半上写着 30 ，另一半写着 25 。这时，卡普利加的脑中忽然发现了一个绝妙的数学关系：30+25=55 ，55^2=3025 ，把劈成两半的数加起来，再平方，正好是原来的数字。在四位数字里还有两个雷劈数。不同于筛选其他特征的数字，寻找雷劈数可以有几种逻辑的方法。比如说，我们设该数的前两位为 x ，后两位为 y ，根据定义，有 (x+y)^2 = 100x+y ，即 x^2+2(y-50)x+y^23-y = 0 。该方程的判别式 D=4(2500-99y) 必须是完全平方数，而 y 本身也必须是平方数的尾数，故可求得 y 等于 1 或 25 ，从而求得四个结果2025，3025，9801 和 0001 。0001 不是四位数，所以舍去。所以一共有三个雷劈数：2025，3025，9801 。



突然发现一个有趣的事实：那么多有趣的四位数都来自印度。



让我们说一个跟我们中国人有关的数字吧：2184 。这是我在原奥数教练田廷彦老师写的“计算出乎意料”一文上读到的。顺便提一句，田老师的这篇文章里介绍了我的书《数学都知道》。自豪一下。

有这样一个猜想：对任意 n 个连续正整数，必有一个与其他所有数都互质。田老师把它称为“n 亲不认”猜想。当 n=3 的时候是显然的；当 n=4 时，需要一些讨论；当 n=5 时，这个题目就是一道奥数题了。英年早逝的中国第一届 IMO 金牌得主张浩说这个猜想不成立，但没有详谈。后来中国奥数集训队的队员们找到了反例。这个反例是从 2184 开始的，一直到 2200 ，总共 17 项。也就是说，这连续 17 个数中，已经没有一个数与其他所有数都互质了，“17 亲不认”不成立。2184 就这样把一个猜想给否定了。田老师进一步追问：除了 17 个连续正整数，还有哪些数有反例，反例的数是否无限？



最后说说 1024 。这是我在遇见数学公众号读到的：“数学中的那些奇妙整数，每一个背后藏着什么数学奥秘？”。索性把图片和文字都复制过来吧：

1024 是 2 的 10 次方（2^10），它定义了计算机存储的基本单位——千字节（KB, KiloByte）。当你下载一个 1MB（兆字节）的文件时，其实是在处理 1024KB 的数据。这个数字的倍数（如 2048、4096）在计算机内存分配和文件系统设计中无处不在。而 256 是 2^8 ，表示 8 位二进制数的所有可能值（从 0 到 255）。它在数字图像（RGB 色彩模型）、网络协议（IP 地址）等领域发挥着关键作用。

其实我可能更愿意想选择 2048 。这是一款我以前喜欢的一个游戏，而且它来自于另一个游戏“1024”。另一方面，这是一个我们都可以期待的年月。到 2048 年，大家一定会大张旗鼓地庆祝。

三，ChatGPT 选择的四位数

最后让我们把 ChatGPT 选择的四位数补充介绍一下。

1089 是一个神奇的逆转数字：取任意一个非回文的三位数，将原数字反序排列，和原数字相减后取绝对值；算出的数字若只有二位数，前面加一个零，再将此数字和反序排列后的数字相加。你一定得到 1089 。这个神奇的运算是英国牛津大学耶稣学院的教授大卫·艾奇逊（David Acheson）在 10 岁时阅读一本科普书时读到的。他说任何一个 10 岁的学生都会被这个事实惊讶地目瞪口呆。这也说明了数学科普的重要性。

8128 是一个完全数。完全数（perfect number），又称完美数或完备数，是一些特殊的自然数：它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和，恰好等于它本身。比如，8128 的真因子是 1，2，4，8，16，32，64，127，254，508，1016，2032，和 4064 。正好有：1+2+4+8+16+32+64+127+254+408+1016+2032+4064=8128  。8128 是四位数中唯一的完全数。完全数的发现归功于古希腊数学家欧几里得。他是通过 2^(n-1)×(2^n-1) 的表达式发现前四个完全数的：6，28，496，和 8128 。再下一个就到了 8 位数了：33550336 。一个偶数是完美数，当且仅当它具有如下形式：2^(n-1)×(2^n-1) ，其中 2^n-1 是素数，此事实的充分性由欧几里得证明，而必要性则由欧拉所证明。目前还不知道有没有奇完全数，但是当代数学家奥斯丁·欧尔证明，若有奇完全数，则其形式必然是 12p+1 或 36p+9 的形式，其中 p 是素数。

1260 是一个高合成数。所谓高合成数是指那些整数，任何比它小的自然数的因子数目均比这个数的因子数目少。据说这个词是由拉马努金所创建。他在 1915 年写过一篇相关论文。但也有人认为柏拉图已有提出此一概念，柏拉图认为城市理想的人口数为 5040 ，因为这个数的因子数量多过任何一个比小于它的数。出于这个考虑，我认为 ChatGPT 应该给我 5040 ，而不是 1260 ，因为 5040 更有故事，更漂亮：5040=7！。回到 1260 ，它有 36 个因子：

1，2，3，4，5，6，7，9，10，12，14，15，18，20，21，28，30，35，36，42，45，60，63，70，84，90，105，126，140，180，210，252，315，420，630，1260 。

如果用素分解的话，1260=2^2×3^2×5×7 。

一共有 5 个四位高合成数：1260，1680，2520，5040，7560 。1260 是最小的一个。

1001 既是一个 10 进制回文数，也是二进制回文数。注意这里不是说把 10 进制的 1001 转成 2 进制时仍为回文数，因为：1001(10)=1111101001(2) 。返回来说，2 进制的 1001 也不是 10 进制的回文数，因为 1001(2)=9(10) 是一个个位数。还有一个同时是 10 进制回文数也是二进制回文数的数是 1111 。有人把回文数称作沙拉扎数（Scheherazade Numbers）。沙拉扎是《一千零一夜》中那位讲故事的王妃、即宰相女儿之名。有了《一千零一夜》故事做支撑，我感觉 ChatGPT 的选择是挺好的。一般地，某基数的回文数在另一基数通常不是回文数，正像我们看到的 1001 和 1111 。然而，有些数字在几套进制都是回文数（称为“协回文”，copalindromic）。在四位数中，我们有：1991(10)=7C7(16) 。还有其他的 10 进制 4 位数的协回文数吗？ChatGPT 不知道。有谁知道？

3435 是一个闵希豪森男爵数。闵希豪森男爵数是一个以给定数基  b 为底的自然数，其值等于其各个数字的自身次方和。比如，3435=3^3+4^4+3^3+5^5 就是这样一个数。似乎它没有太多故事可以发掘。有意思的是，闵希豪森男爵是德国作家鲁道尔夫·埃里希·拉斯伯在《闵希豪森男爵叙述他在俄罗斯的奇妙旅行和战役》虚构出来的德国贵族。尽管这部小说的主人公是基于一个真实的人物男爵希耶洛尼斯·卡尔·弗里德里希·冯·闵希豪森。尽管这位真实的男爵对他被莫名其妙地虚构进了小说里，他也无能为力。可是 3435 怎样跟闵希豪森男爵发生了关系了呢？原来，德国哲学家弗里德里希·尼采（Friedrich Wilhelm Nietzsche）在 1886 年哲学专题论文中使用男爵从沼泽中自救的冒险来比喻完全形而上学的自由意志信仰。1968 年，德国哲学家汉斯·阿尔伯特据此创造闵希豪森三难困境一词来描述哲学问题固定得从前提中得出结论。这些前提依旧源自其他前提，并永远持续下去，这导致无穷倒退只能被循环逻辑或宗教教义中断。这个问题是根据男爵用头发将自己从沼泽拉起来的类似矛盾故事来命名。这个故事启发了数学家达恩·范·伯克尔（Daan van Berkel）创造出闵希豪森数这个数学名词：把每一位数都提到幂上，加起来发现又回到了这个数。已经证明，以任意整数为基的数系里的闵希豪森男爵数都是有限的。事实上，3435 是唯一一个 4 位数闵希豪森男爵数，而且唯一找到了的 10 进位闵希豪森男爵数（如果我们把 0 这样的平凡例子除外的话）。更大的数字的提升都会变得更快，不会再回到数字本身。

1456 是另一个 ChatGPT 推荐的数字。它推荐的理由是，这个数字 1456 和它的反向数 6541 的和是回文数 7997 。我感觉这个理由过于牵强，就不展开了。

结束语

本文介绍了一些有故事的四位数，作为以前已经介绍过的三位数的补充，也作为以后读者对 5 位数、6 位数、...的扩展。

原创  蒋迅  遇见数学  2025 年 02 月 14 日 20:01  河南