\(\Huge\color{blue}{\textbf{没有最小超穷自然数}}\)

春风晚霞

       从elim先生2025-5-18 06:39所发帖子的12行\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n=\)\(\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty}\{0，1，…n\}\)\(=\mathbb{N}=sup\mathbb{N}\)和第17行【定理】\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n=\)\(\mathbb{N}=sup\mathbb{N}\)\(\notin\mathbb{N}\)立得【定理】的表达实质是\(\mathbb{N}\notin\mathbb{N}\)!所以，elim先生自证了所给命题\(v=\displaystyle\lim_{n \to \infty}n=sup\mathbb{N}\)\(\notin\mathbb{N}\)是个伪命题！另外皮亚诺意义下的自然数全体是康托尔实正整数集，由于冯\(\cdot\)依曼自然数定义中\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n=\mathbb{N}\)是一个确定的数，根据皮亚诺公理第二条“、每一个确定的自然数\(a\)，都具有确定的后继数\(a' ，a'\)也是自然数”,所以\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)的后继\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n+1\)也是自然数。是的。康托从来没有称他的超穷数为自然数。但康托尔又在什么地方说了\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)不是自然数呢？

春风晚霞

请elim先生诠释你的\(\mathbb{N}\)到底是不是自然数集？也请elim先生正面诠释\(\mathbb{N}\notin\mathbb{N}\)中\(\notin\)两边的\(\mathbb{N}\)都表示自然数集？还是都表示非自然数集？还是一个表示自然数集一个表示非自然数集？也请先生从正面讲解你的自然数集与现行教科书的自然数集的异同！

elim

从分析的观点看这个定理是显然的：因为\(\{n\}\)
非柯西序列, \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}n\)不存在, 当然就不是自然数.
这个定理是要指出，在更底层的集论意义下
\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}n\) 仍然不是自然数. 在集论中自然数由递
归式给出 \(\small 0=\phi, n+1=n\cup\{n\}=\{0,\ldots,n\}\)
自然数间的大小关系等价于真扩集/子集关系.
由此即知自然数序列作为严格增序列的极限是
\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}n=\bigcup_{n=1}^\infty\{0,\ldots,n\}=\mathbb{N}=\sup\mathbb{N}\).
这里第一个等号从集合升列的极限的集论公式
得到，最后一个等号自然数的集论序关系约定
及上确界定义给出. 由自然数的集论构造, 自然
数皆\(\mathbb{N}\)的真子集，故\(\color{red}{\mathbb{N}\not\in\mathbb{N}}\).
【定理】\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}n=\mathbb{N}=\sup\mathbb{N}\not\in\mathbb{N}\) 的以上论
\(\quad\)证以皮亚诺公理为据. 自然数的集论表达式,
\(\quad \mathbb{N}\)无最大元论断需要全部皮亚诺公理支撑．

【注记】康托的基数理论及序数理论是对皮亚
\(\quad\)诺的自然数理论从有穷基数全体向一般基数,
\(\quad\)从有限序数全体向一般序数的扩展. 皮亚诺
\(\quad\)意义下的自然数全体是\(\mathbb{N}\). 一切不在\(\mathbb{N}\)中的元
\(\quad\)素必有不合皮亚诺公理之处. 康托从来没有称
\(\quad\)他的超穷数为自然数. 也没有任何书著称\(\mathbb{N}\)含
\(\quad\)非有穷元素．


楼上定理的约简版
【定理】\(v=\displaystyle\lim_{n\to\infty}n =\sup\mathbb{N}\not\in\mathbb{N}.\)\(\\\)
【证明】据皮亚诺公理, 若\(v\in\mathbb{N}\), 则其后继\(m\)亦然．
\(\qquad\quad\)得矛盾 \(v=\sup\mathbb{N}\ge m=v+1>v.\quad\square\)
【注记】自然数集的上确界不小于任何自然数．

春风晚霞

无论先生如何解读，只要\(\notin\)两边的\(\mathbb{N}\)具有相同的属性，表达式\(\mathbb{N}\notin\mathbb{N}\)都是错误的！先生应当明白皮亚诺自然数公理、康抚尔实正整数生成法则、冯·诺依曼自然数定义（其实自康托尔实正整数生成法则的另一种表现形式）是彼此兼容的。这三个理论的任何一种都得不到\(\mathbb{N}\notin\mathbb{N}\)这个错误的表达式！

春风晚霞

无论先生如何解读，只要\(\notin\)两边的\(\mathbb{N}\)具有相同的属性，表达式\(\mathbb{N}\notin\mathbb{N}\)都是错误的！先生应当明白皮亚诺自然数公理、康抚尔实正整数生成法则、冯·诺依曼自然数定义（其实自康托尔实正整数生成法则的另一种表现形式）是彼此兼容的。这三个理论的任何一种都得不到\(\mathbb{N}\notin\mathbb{N}\)这个错误的表达式！

elim

春风晚霞 发表于 2025-5-17 23:03
无论先生如何解读，只要\(\notin\)两边的\(\mathbb{N}\)具有相同的属性，表达式\(\mathbb{N}\notin\mathbb{ ...

说说错在哪里？难道\(\mathbb{N}\in\mathbb{N}\), 白痴？

春风晚霞

一、自然数集的定义：
       【定义】称称满足如下条件的集合N为自然数集：
       (1)、\(0\in N\)
       (2)、\(\forall x\in N\),其后继\(x^+\in N\)
       (3)、\(\forall x\in N\),有\(x^+\ne 0\)
       (4)、\(\forall x，y\in N\)，如果\(x\ne y，则有x^+\ne y^+\)
       (5)、\(\forall A\subset N\)，如果满足下列两个条件：①\(0\in N\)；②、\(\forall x\in A\)有\(x^+\in A\).则有\(A=N\)(参见清华大学张峰 陶然著《集合论基础教程》P82页定义5.1.2) .
       由于该定义的条件与皮亚诺公理完全一致，故亦可简单地说满足皮亚诺公理的集合称着自然数集。
二、数与数相等；集合与集合相等都具有自反性；
       elim先生的【由自然数的集论构造, 自然数皆\(\mathbb{N}\)的真子集，故\(\mathbb{N}\notin\mathbb{N}\)】不自洽！因为自然数的构造有三种基本形式：①皮亚诺公理式；②康托尔实正整数生成式；③冯﹒诺依曼生成式 .\(\mathbb{N}\notin\mathbb{N}\)表达式在皮亚诺体系和康托尔实正整数体系中不自洽是显然的，在此不再赘述。elim先生的【\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n=\)\(\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty}\)\(\{1，2,，…\}=\)\(\mathbb{N}\)\(=sup\mathbb{N}\)】应属冯．诺依曼定义式.在冯．其实，就算在诺依曼定义式中虽然有\(n=\{1,2,…,n-1\}\)这种集合与数不分，\(\subset与\in\)不分的表达方式，但仍无\(\mathbb{N}\notin\mathbb{N}\)这样的不自洽表达式.这是因为\(\notin\)左边的\(\mathbb{N}\)与右边的\(\mathbb{N}\)都是冯．诺依曼定义下的同一自然数集，所以无论从数的相等关系，还是集合的相等（即互含）关系看，都应满足自反性（也就是\(\mathbb{N}=\mathbb{N}\)，而决无\(\mathbb{N}\notin\mathbb{N}\)之理 .至于正则公理，那是讲的集合中元素与集合的关系，而不是对同一集合自反关系的否定！

elim

1）集论是数学基础,  从归纳集\(U\)的本征性质:
\(\quad\;\;(\phi\in U)\wedge(\forall u\in U(u\in U\implies u\cup\{u\}\in U))\)
\(\quad\;\;\)结合无穷公理确立的最小归纳集\(S\), 后继映射
\(\quad\;\,\;s: n\mapsto n\cup\{n\},\)记\(\phi\)为\(0,\;s(n)\)为\(n+1\),并记
\(\quad\;\,\;m\subsetneq n\)为\(m< n,\)致使\(S\)成为满足皮亚诺公理
\(\quad\;\;\)的良序构造, 记所论\(S\)为\(\mathbb{N}\), 其元素为自然数.
\(\quad\;\;\)皮亚诺给出自然数的定义, 冯诺伊曼构造自然
\(\quad\;\;\)数(确立\(\mathbb{N}\)的存在, 给出了\(n(\in\mathbb{N})\)的集论结构);
\(\quad\;\;\)康托对\(\mathbb{N}\)作了非自然数的基数、序数序扩张.
2）从自然数的冯诺伊曼构造知道, 分析意义下不
\(\quad\;\,\)存在的\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}n\)在集论意义下收敛(上下极限等)
\(\quad\;\;\)经简单计算立得\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}n=\sup\mathbb{N}=\mathbb{N}\not\in\mathbb{N}\)
3）归纳集\(\mathbb{N}\)的最小性是自然数皆有限数的根源．
\(\quad\;\,\)令\(\mathbb{N} ’=\{m\in\mathbb{N}:\;m<  v\}\)(\(v\)为最小无穷数)
\(\quad\;\,\)易见\(\mathbb{N}’\)是归纳集．皮亚诺公理第五条称\(\mathbb{N}’\)
\(\quad\;\;\,=\mathbb{N}\)即\(\mathbb{N}\)只含有限数(当然有限数有无穷多).
\(\quad\;\,\;\mathbb{N}\)没有归纳真子集．皮亚诺第五条表明\(\mathbb{N}\)是
\(\quad\;\,\)最小归纳集．


只有集论白痴才畜生不如地啼\(\mathbb{N}\not\in \mathbb{N}\)不自洽的猿声.