数学家｜年少成名篇-A. N. 柯尔莫哥洛夫（A. N. Kolmogorov）

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数学家｜年少成名篇-A. N. 柯尔莫哥洛夫（A. N. Kolmogorov）

原创  亲切的桃子  亲切的桃子  2025 年 03 月 27 日 22:11 福建

我一生，始终遵循这样的座右铭：真理即善，我们的职责是去探寻并坚守它…… —— A. N. 柯尔莫哥洛夫（А. H. Колмогоров）

继续 Andrey Nikolaevich Kolmogorov 安德烈·尼古拉耶维奇·柯尔莫哥洛夫（1903.4.25-1987.10.20）的故事，在这一节里我们将看到一个伟大数学家的「年少成名」的全过程。

同俄罗斯传统小说一样，本文使用 A. N. 柯尔莫哥洛夫或者安德烈·尼古拉耶维奇的两种人名表示（使用哪一个完全是任意的）。

研讨班学习三角级数

在柯尔莫哥洛夫的经典著作以及他关于发散傅里叶级数的研究中，都能看到这位数学家的独特特质：非凡的简洁性、思想的普遍性以及惊人的技术能力。—— P. S. 亚历山德罗夫

前一文提到，在 1921 年秋天，作为二年级学生的安德烈·尼古拉耶维奇开始参加各种研讨班，这里包括加入 В. В. 斯捷潘诺夫的研讨班学习三角级数。


В. В. 斯捷潘诺夫

В. В. 斯捷潘诺夫（V. V. Stepanov，1889-1950）的科学兴趣领域非常广泛：实变函数理论、三角级数、数学物理。用这位数学家自己的话来说，他的「初恋」是微分方程，他一直对它忠诚直到生命的尽头。尽管他在 N. N. 卢津的影响下将他的第一次独立科学研究投入到了实变函数理论。

研讨班上，老师经常会抛出数学前沿尚未解决的问题让学生们讨论解决。

这种独特的教学方法上文提到由 N. N. 卢津首创，他提出年轻人在大学第一年就可以开始科研活动。我想当年是取得了不错的效果，挖掘了一批数学家。

然而著名盲人数学大师 Л. С. 庞特里亚金（1908-1988）对此持有不同的看法：『卢津教会了数学家科学创造力，但并没有教会他们数学本身。为了在刚开始学习时就开始从事数学工作，你必须将自己限制在数学的某些非常狭窄的领域内。』


Л. С. 庞特里亚金

在研讨会上，安德烈·尼古拉耶维奇解决了由卢津提出的一个有趣问题，即构造一个傅里叶级数，其系数趋于零的速度极其缓慢。

由该解决过程产生的论文，刊登于 1922 年 12 月 3 日（手稿标注日期），论文题目为 sur l'ordre de grandeur des coefficients de la série de fourier-lebesgue 论傅里叶 - 勒贝格级数系数的量级。其中，A. N. 柯尔莫哥洛夫这样阐述其的主要结果：「众所周知，可和函数的傅里叶系数趋于零。在本笔记中，我将证明关于余弦级数的以下命题。




论文：论傅里叶级数系数的量级

安德烈·尼古拉耶维奇回忆道：「当卢津听说这件事后，他在大学走廊上找到了我（我记得那是在大学的走廊里）并提议我定期去他那里做研究」。

于是，A. N. 柯尔莫哥洛夫成为了 N. N. 卢津的学生，正式加入了「卢西塔尼亚」并成为其第二代的首要成员，第一代学生包括 P. S. 亚历山德罗夫（日后成为一辈子的好友）、亚历山大·辛钦（共同成为概率论的奠基学者）。

一个几乎处处发散的傅里叶级数

卢津与他的学生们每周进行一次晚间学术讨论，并且有专门的安排规定了谁什么时候过去讨论（来自 push 型导师的压力～～）。这种「与学生的高强度合作」也是卢津推行的教学创新举措之一。

P. S. 亚历山德罗夫对此有过精彩的记述：「卢津的学生们会聚集在老师的公寓里，饶有兴致地讨论学术问题，之后便愉快地喝茶，带着满足的心情各自散去。」...「夏天，整个『卢西塔尼亚』的成员会聚集在莫斯科郊外的某座大房子里，大家交流讨论、远足旅行等等，关系非常融洽。」

安德烈·尼古拉耶维奇回忆说，「这种与卢津的紧张工作和交流从未间断过」。根据各种学术和非学术的记录情况可见，卢津给他的学习安排与他大二时期对余弦级数的研究成果相关。

由此产生了安德烈·柯尔莫哥洛夫的第一篇著名论文 Une série de Fourier–Lebesgue divergente presque parout 一个几乎处处发散的傅里叶 - 勒贝格级数，于 1922 年底发表在 W. 谢尔宾斯基（亦是卢津好友）主编的期刊“Fundamenta Mathematicae”上。

安德烈·柯尔莫哥洛夫将其描述为「自己的第一篇独立作品」......「这个级数是他当列车售票员时想出的」。

论文：一个几乎处处发散的傅里叶级数

在论文中他这样描述这个成果：「这篇笔记的目的是给出一个（在勒贝格意义下）可积的函数例子，其傅里叶级数几乎处处发散（也就是说，除了一个测度为零的集合外处处发散）...」。他还指出，「该论文中使用的方法无法构造出处处发散的傅里叶级数」。

这两篇具有国际重要意义的关于傅里叶级数的研究成果，令同行专家们大吃一惊的同时，让年仅 19 岁的柯尔莫戈洛夫成了全球数学界一颗闪亮的新星。

然而很快过了几年（1926 年），他稍作修改构造出了一个可和函数的傅里叶级数，该级数处处发散，见其论文 Une serie de Fourier-Lebesgue divergente partout 处处发散的傅里叶 - 勒贝格级数。


论文：一个处处发散的傅里叶级数

A. N. 柯尔莫哥洛夫一生都对原始级数的三角函数理论保持着浓厚的兴趣，时常回到这个领域的问题上，并将它们布置给自己的学生作进一步研究。他围绕这个主题发表了大约十篇论文，事实上，每一篇都为后续不断深入的研究奠定了基础。在这些论文中，他特别关注 P. S. 乌雷松的工作。（为乌雷松的英年早逝又叹！！）


A. N. 柯尔莫哥洛夫作品一览

以研究三角级数闻名的前苏联女数学家妮娜·巴里（Nina Bari ，1901-1961 ，也是卢津的明星学生之一）的学生彼得·乌里扬诺夫（Pyotr Ulyanov ，1928-2006）在其论文 Kolmogorov and divergent Fourier series 中提到：「Kolmogorov 发表了约十篇关于三角级数和正交级数理论的论文。事实上，这些论文中的每一篇都开启了诸多研究，时至今日相关研究仍在积极开展中......」

如今，任何对三角级数理论的全面论述（陈建功著《三角级数论》、Zygmund 著“Trigonometric Series"）都必然会提及柯尔莫哥洛夫的这个例子。

参考资料

[1]各种 wiki 资料
[2]Shiryaev, Albert N. "Kolmogorov: Life and creative activities." The Annals of Probability 17.3 (1989): 866-944.
[3]Tikhomirov, Vladimir M., ed. Selected Works of A.N. Kolmogorov: Volume I: Mathematics and Mechanics. Vol. 25. Springer Science & Business Media, 1991.
[4]Колмогоров. Юбилейное издание в трёх книгах. Кн. 1. Истина — благо. Биобиблиография （柯尔莫哥洛夫.三卷本纪念版.卷 1 : 真理即至善 - 传记与文献目录）

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