\(\Huge\color{red}{\textbf{再论自然数皆非超穷数}}\)

elim

根据wiki 词条【有限集】
一个集合被称为有限集合, 简单来说就是其
元素个数有限, 严格说是存在某自然数 \(n\)使
\(\{0,1,\ldots,n-1\}\)与该集对等(之间存在双射).
即一集合被称为有限, 如果其基数是自然数.
由此知\(\aleph_0\)不是自然数. 因\(\mathbb{N}\)不是有限集 (它
与其真子集对等). 同理由第一个超穷序数\(\omega\)
\(=\mathbb{N}\)非有限知\(\omega\)不是自然数．

\(\mathbb{N}\)是有限基数, 有限序数全体. 它不含超穷数．
自然数无穷多, 皆有限数均为事实, 不矛盾．

elim

根据戴德金(Richard Dedekind)
一个集合无穷当且仅当它有与之时等的真子集；
一个集合有穷当且仅当它无与之对等的真子集．

春风晚霞

\(\huge\color{red}{春风晚霞并非搅局}\)

       elim先生发表在《再论自然数皆非超穷数》下的主帖的论证是循环论证。
       elim先生认为【根据wiki 词条【有限集】一个集合被称为有限集合, 简单来说就是其元素个数有限, 严格说是\(\color{navy}{存在某自然数 n}\)使\(\{0,1,…,n\}\)与该集对等(之间存在双射).即一集合被称为有限, 如果其基数是自然数.】

       〖评注:因为在自然数理论中，自然数集\(\{0，1，2，…，n-1\}\)称作自然数列的一个截段，自然数列的任何一个截段所得自然数集均为有限集。然而这些截段所成集合均为自然数集\(\mathbb{N}\)的真子集。理由很筒单，根据皮亚诺公理第二条，这个\(\color{navy}{存在某自然数n}\)必存在其后继n+1，且n+1也是自然数。持读应用皮亚诺公理第二条，\(n+j\)(j为有限自然数）也是自然数。并且\(n+j\in\mathbb{N}\)，所以\(\{0，1，2，…，n\}\)\(\subset\mathbb{N}\)〗

       elim先生认为【\(\color{blur}{由此知\aleph_0不是自然数}\). 因\(\mathbb{N}\)不是有限集 (它与其真子集对等). 同理由第一个超穷序数ω=N非有限知ω不是自然数．\(\mathbb{N}\)是有限基数, 有限序数全体.它不含超穷数．自然数无穷多, 皆有限数均为事实, 不矛盾】

       〖评注：elim先生的\(\color{navy}{由此知\aleph_0不是自然数}\)中的由此推不出\(\aleph_0\)不是然数。因为由此的“此”是自然数列的一个截段，它的势就是这个截段中元素的个数，是有限自然数。而\(\aleph_0 \)是\(\mathbb{N}\)的势，其基数、序数都等于\(\aleph_0 \)。\(v=\displaystyle\lim_{n \to \infty} n\)。因为\(v=\displaystyle\lim_{n \to \infty} n\) “既表示把一个个单位加起来的确切计数，又表示它们汇集而成的整体（康托尔语），如自然数10它既表示从\(0\overbrace{+1+1+…+1}^{10个1连续相加}\)，又所示\(\overline{\overline{\{1，2，…，10\}}}=10\)，故此我们完全有理由说\(v=\displaystyle\lim_{n \to \infty} n=\in\mathbb{N}\)!所以elim先生的【\(\color{navy}{由此知\aleph_0不是自然数}\)】的论据牵强，逻辑混乱。同时elim先生所说的【自然数无穷多, 皆有限数均为事实 ，不矛盾】这是自掩尴尬的托词，【自然数无穷多】就说了自然数集的势是\(\aleph_0\)。自然数【皆有限数】则说明\(\overline{\overline{\{有限自然数\}}}=\alpha=有限数\)。所以这两个事的矛盾是不可调和的对抗性矛盾！
       elim先生的【第一个超穷序数ω=\(\mathbb{N}\)非有限知ω不是自然数】同义反复，简捷的说就是“ω不是自然数”。其实“ω不是自然数”既不是elim先生的发明，更不是elim先生的发现。从康托尔有穷基数的无穷序列1，2，…，\(\nu-2\)，\(\nu-1\)，\(\nu= \displaystyle\lim_{n \to \infty} n\) ，ω，ω+1，…\(\}\)看确实有\(ω\notin\mathbb{N}=\{1,2,…\nu\}\),但\(ω\in\{ω，ω+1，…，\}\),ω是康托尔设想的一个“表示（I）的整体和（I）中数之间的一种相继次序”新数（参见康托尔《超穷数理论基础》P43页第3—4行）。ω在超穷自然数集合\(\{ω，ω+1，…，\}\)中与0在\(\mathbb{N}\)中一样只有后继没有前趋。虽然\(\nu= \displaystyle\lim_{n \to \infty} n\)、\(\aleph_0 \)、ω的值都是无穷，但康托尔认为\(\nu= \displaystyle\lim_{n \to \infty} n\)、\(\aleph_0 \)、ω是适当的无穷，而\(\infty\)则是不适当的无穷（参见康托尔《超穷数理论基础》P42页1—12行）。意即\(\infty\)不是自然数中的\(\infty\)是不适当的无穷。〗


       elim认为【根据戴德金(Richard Dedekind)一个集合无穷当且仅当它有与之时等的真子集；一个集合有穷当且仅当它无与之对等的真子集．

       〖评注： 运用楼主提供的【戴德金(Richard个集合有穷当且仅当它无与之对等的真子集。】我们很容易证得\(\mathbb{N}\)是无限集，并且\(v=\displaystyle\lim_{n \to \infty} n\in\mathbb{N}\)．
       【证明1：】设集合\(\mathscr{A}=\{x:x=2n\quad n\in\mathbb{N}\}\),建立\(\mathbb{N}\)到\(\mathscr{A}\)的一一映射\(f(n)=2n\),易证\(\overline{\overline{\mathbb{N}}}=\)\(\overline{\overline{\mathscr{A}}}\)，所以\(\mathbb{N}\)是无限集！
       【证明2：】建立\(\mathbb{N}\)到\(\mathbb{N}\)的一一映射\(f(x)=x\),因为\(\overline{\overline{\mathbb{N}}}=\)\(\overline{\overline{\mathbb{N}}}\)，所以\(\displaystyle\lim_{n \to \infty} n\in\mathbb{N}\)〗