\(\Huge\color{red}{\textbf{再论自然数皆非超穷数}}\)

elim

根据wiki 词条【有限集】
一个集合被称为有限集合, 简单来说就是其
元素个数有限, 严格说是存在某自然数 \(n\)使
\(\{0,1,\ldots,n-1\}\)与该集对等(之间存在双射).
即一集合被称为有限, 如果其基数是自然数.
由此知\(\aleph_0\)不是自然数. 因\(\mathbb{N}\)不是有限集 (它
与其真子集对等). 同理由第一个超穷序数\(\omega\)
\(=\mathbb{N}\)非有限知\(\omega\)不是自然数．

\(\mathbb{N}\)是有限基数, 有限序数全体. 它不含超穷数．
自然数无穷多, 皆有限数均为事实, 不矛盾．

elim

根据戴德金(Richard Dedekind)
一个集合无穷当且仅当它有与之时等的真子集；
一个集合有穷当且仅当它无与之对等的真子集．

春风晚霞

\(\huge\color{red}{春风晚霞并非搅局}\)

       elim先生发表在《再论自然数皆非超穷数》下的主帖的论证是循环论证。
       elim先生认为【根据wiki 词条【有限集】一个集合被称为有限集合, 简单来说就是其元素个数有限, 严格说是\(\color{navy}{存在某自然数 n}\)使\(\{0,1,…,n\}\)与该集对等(之间存在双射).即一集合被称为有限, 如果其基数是自然数.】

       〖评注:因为在自然数理论中，自然数集\(\{0，1，2，…，n-1\}\)称作自然数列的一个截段，自然数列的任何一个截段所得自然数集均为有限集。然而这些截段所成集合均为自然数集\(\mathbb{N}\)的真子集。理由很筒单，根据皮亚诺公理第二条，这个\(\color{navy}{存在某自然数n}\)必存在其后继n+1，且n+1也是自然数。持读应用皮亚诺公理第二条，\(n+j\)(j为有限自然数）也是自然数。并且\(n+j\in\mathbb{N}\)，所以\(\{0，1，2，…，n\}\)\(\subset\mathbb{N}\)〗

       elim先生认为【\(\color{blur}{由此知\aleph_0不是自然数}\). 因\(\mathbb{N}\)不是有限集 (它与其真子集对等). 同理由第一个超穷序数ω=N非有限知ω不是自然数．\(\mathbb{N}\)是有限基数, 有限序数全体.它不含超穷数．自然数无穷多, 皆有限数均为事实, 不矛盾】

       〖评注：elim先生的\(\color{navy}{由此知\aleph_0不是自然数}\)中的由此推不出\(\aleph_0\)不是然数。因为由此的“此”是自然数列的一个截段，它的势就是这个截段中元素的个数，是有限自然数。而\(\aleph_0 \)是\(\mathbb{N}\)的势，其基数、序数都等于\(\aleph_0 \)。因为\(v=\displaystyle\lim_{n \to \infty} n\) “既表示把一个个单位加起来的确切计数，又表示它们汇集而成的整体（康托尔语），如自然数10它既表示从\(0\overbrace{+1+1+…+1}^{10个1连续相加}\)，又所示\(\overline{\overline{\{1，2，…，10\}}}=10\)，故此我们完全有理由说\(v=\displaystyle\lim_{n \to \infty} n\in\mathbb{N}\)!所以elim先生的【\(\color{navy}{由此知\aleph_0不是自然数}\)】的论据牵强，逻辑混乱。同时elim先生所说的【自然数无穷多, 皆有限数均为事实 ，不矛盾】这是自掩尴尬的托词，【自然数无穷多】就说了自然数集的势是\(\aleph_0\)。自然数【皆有限数】则说明\(\overline{\overline{\{有限自然数\}}}=\alpha=有限数\)。所以这两个事的矛盾是不可调和的对抗性矛盾！
       elim先生的【第一个超穷序数ω=\(\mathbb{N}\)非有限知ω不是自然数】同义反复，简捷的说就是“ω不是自然数”。其实“ω不是自然数”既不是elim先生的发明，更不是elim先生的发现。从康托尔有穷基数的无穷序列1，2，…，\(\nu-2\)，\(\nu-1\)，\(\nu= \displaystyle\lim_{n \to \infty} n\) ，ω，ω+1，…\(\}\)看确实有\(ω\notin\mathbb{N}=\{1,2,…\nu\}\),但\(ω\in\{ω，ω+1，…，\}\),ω是康托尔设想的一个“表示（I）的整体和（I）中数之间的一种相继次序”新数（参见康托尔《超穷数理论基础》P43页第3—4行）。ω在超穷自然数集合\(\{ω，ω+1，…，\}\)中与0在\(\mathbb{N}\)中一样只有后继没有前趋。虽然\(\nu= \displaystyle\lim_{n \to \infty} n\)、\(\aleph_0 \)、ω的值都是无穷，但康托尔认为\(\nu= \displaystyle\lim_{n \to \infty} n\)、\(\aleph_0 \)、ω是适当的无穷，而\(\infty\)则是不适当的无穷（参见康托尔《超穷数理论基础》P42页1—12行）。意即\(\infty\)不是自然数中的\(\infty\)是不适当的无穷。〗


       elim认为【根据戴德金(Richard Dedekind)一个集合无穷当且仅当它有与之对等的真子集；一个集合有穷当且仅当它无与之对等的真子集．

       〖评注： 运用楼主提供的【戴德金(Richard个集合有穷当且仅当它无与之对等的真子集。】我们很容易证得\(\mathbb{N}\)是无限集，并且\(v=\displaystyle\lim_{n \to \infty} n\in\mathbb{N}\)．
       【证明1：】设集合\(\mathscr{A}=\{x:x=2n\quad n\in\mathbb{N}\}\),建立\(\mathbb{N}\)到\(\mathscr{A}\)的一一映射\(f(n)=2n\),易证\(\overline{\overline{\mathbb{N}}}=\)\(\overline{\overline{\mathscr{A}}}\)，所以\(\mathbb{N}\)是无限集！
       【证明2：】建立\(\mathbb{N}\)到\(\mathbb{N}\)的一一映射\(f(x)=x\),因为\(\overline{\overline{\mathbb{N}}}=\)\(\overline{\overline{\mathbb{N}}}\)，所以\(\displaystyle\lim_{n \to \infty} n\in\mathbb{N}\)〗

elim

春风晚霞 发表于 2025-4-30 02:37
\(\huge\color{red}{春风晚霞并非搅局}\)

       elim先生发表在《再论自然数皆非超穷数》下的主帖的论 ...

据康托-冯诺依曼的序数构造\(\small 0{\scriptsize(\phi)}, 1\scriptsize=\{0\}, \)
\(\small\ldots, {\small n+1=\{0,1,\ldots,n\}},\ldots, \omega, \omega+1,\)
\(\ldots, 2\omega, \ldots.\) 一般地, 序数恰是以其前
段各序数为元素的集合. 所以\(\omega=\small \mathbb{N}=\)
\(\small=\{0,1,\ldots,n,\ldots\},\,\omega+1=\omega\cup\{\omega\}\)
\(\small=\{0,1,\ldots,n,\ldots,\omega\},\,\therefore\,\omega\in\omega+1\)但
\(\omega\not\in\omega=\mathbb{N}\). \(\mathbb{N}\)是有限序数全体.
由归纳法(皮亚诺公理)证得\(n\in\mathbb{N}\)作为
集合无与之对等的真子集. 故为有限集.
另一方面, 易见对任意有限集\(A\), 都有唯
一的 \(\small n=\scriptsize\{0,\ldots,n-1\}\) 与之对等.  所以
用自然数表示与之对等的有限集的基数
是合理的. 集论书著都采用自然数, 有限
序数, 有限基数这种等同. 这使\(\mathbb{N}\)成为有
限基数全体. 而每个自然数都是有限数.
无论把\(\color{blue}{\displaystyle\displaystyle\lim_{n\to\infty}n}\) 看作超穷多个\(1\)的和, 还
是看成有限序数的极限它都是超穷数因
而不是自然数或自然数的后继.在分析中
\(\lim n\)它还有一个符号\(\infty\) 解读, 明说它
在\(\mathbb{R}\)(因而在\(\mathbb{N}\))之外．

春风晚霞

受教了，但我并不认同你的观点。

春风晚霞

你跟我急有什么用，你能用康托尔实正整数第一生成法则或皮亚诺公理证明你的命题【自然数皆有限数】吗？我说“受教了，但我并不认同你的观点”这是学术交流的客套话？难道你非要我接受你的那个十言九错的“定理”吗？集合论是康托创立的，超穷数理论也是康托尔提出来的。你说我不信康托尔的来信你的，有这种可能吗？

elim

无论孬种咋扑腾，咋驴滚，它推翻不了主贴．
超穷数存在于无穷集\(\color{red}{\mathbb{N}}\)之外, 没有超穷自然数

蠢疯白痴真身被验明, 孬氏船漏不打一处来．

春风晚霞

\(\huge\color{red}{再论\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\mathbb{N}}\)

       方嘉琳先生在《集合论》133页给出了孤立序数和极限序数的概念，方嘉琳先生认为：有直前（直接前趋）的序数叫孤立序数。没有直前（直接前趋）的序数叫极限序数。（参见方嘉琳《集合论》P133页定义3）。并指出有限序数中（除0外）皆为孤立序数，设\(\xi\)为序数，则形如\(\xi+\eta\)的序数也是孤立序数。而\(\omega，\omega+\omega\)等都是极限序数。（参见方嘉琳《集合论》P133页9—10行）。
       在康托尔《超穷数理论基础》中，给出了一个重要的实正整数生成法则，\(\overline{\overline{E_{\nu}}}=\)\(\overline{\overline{E_{\nu-1}}}+1\)。这个法则亦称康托尔实正整数第一生成法则。不难看出这个法与皮亚诺公理的第二条是一致的。其实质都是根据前的数生成后边的数数。所不同的是皮亚诺公理第二条是的对像是“每一个确定的自然数”；而康托尔实正整数第一生成法则的对像是已生成的实正整数整体（即已生成的实正数的集合）。
       康托尔在该书的75页给出了有穷基数的无穷数列1，2，3，…，\(\nu\)，\(\omega，\omega+1\)，…，不难看出这个\(\nu\)就是处于极限位置的序数的极限，即是\(\nu=\displaystyle\lim_{n \to \infty} n\)。康托尔认为实正整数“\(\nu\)既表示把一个个单位加上去的确切计数，又表示它们所汇集成的整体”（参见康托尔《超穷数理论基础》P42页18—19行），也就是\(\nu=\overline{\overline{\{1，2，…，\nu-1，\nu\}}}\)，因为\(\nu\)有直前\(\nu-1\)，所以\(\color{red}{\nu是序数的极限，而不是}\)\(\color{red}{极限序数\omega!}\)。相对于最小可列数集\(\mathbb{N}=\{0,1,2,…，\nu-1,\nu\}\)而言，说\(\nu=\aleph_0\)也不为过！
       根据前面对数\(\nu\)的分析知道普通自然数集\(\mathbb{N}\)是由有限数和无穷数两大部分组成。亦即对于预先给定的，无论怎样大的自然数\(\alpha\)，\(\mathbb{N}=\{n:n\le\alpha\}\)\(\cup\{n:n\>\alpha\}\)。因此ChatGPT说【自然数集集\(\mathbb{N}=\{1，2，3，4，…\}\)是一个无限集，意味着它的元无限，但每个自然数都是有限的，我们可以一个接着一个地数出来，对于任何自然数n，我们能找到一个更大的自然数n+1，但这个过程永远不会达到一个无穷大的自然数】是不严谨的。因为【自然数集集\(\mathbb{N}=\{1，2，…\}\)是一个无限集，意味着它的元无限】，那么表示自然数集\(\mathbb{N}\)中元素个数的自然数也就是无限的。这个表示\(\mathbb{N}\)中元素个数的自然数就不是有限的。就是说\(\overline{\overline{\mathbb{N}}}=\aleph_0\)就是无限的。普通自然数最原始的定义可是“表示事物的个数或编号的数叫自然数”（参见《辞海》自然数词条）。还有数学中的无穷大是集合，是大于预先给定的无论怎样大的正数E的所有数的全体，所以说“这个过程永远不会‘到达’一个无穷大的数”就不是业内人说的行话了。

elim

康托的实正整数集是\(\mathbb{N}\)的真扩充，如果把它记作 \(\mathbb{N^{\sigma}}\),\(\\\)
则它包含\(\mathbb{N}\)但含有大量超穷数. 就算的\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}n\in\mathbb{N}^{\sigma}\),\(\\\)
也不属于\(\mathbb{N}\). 因为\(\mathbb{N}\) 不含超穷数是已被证明的事实。\(\\\)
把 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}n\in\mathbb{N}^{\sigma}\)偷换成 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}n\in\mathbb{N}\),
等于自曝孬种白痴门户.   哈哈哈哈春风顽瞎种真孬.

春风晚霞

elim根本就不知道什么是无数，当然也就不知道什么是超穷？\(nu=\displaystyle\lim_{n \to \infty} n\)是无穷自然数，而不是超穷自然数！康托尔的超自然数是指超越无穷的自然然数，而不是指超越有限自然自然数的娄！认是白痴，看看康托尔的有穷基数的无穷序列1，2，…\(nu\)，\(\omega，\omega+1\)，……你自然知道！