\(\textbf{孬种搅局1}\Huge\color{red}{\textbf{自然数皆有限数}}\)

elim · 发表于 2025-5-1 09:55

本帖最后由 elim 于 2025-5-1 10:06 编辑

由Wiki词条【有限集】是其元素个数为某自
然数的集合确切说来，有限集合是与某形如
\(\small I_n:=\{0,1,\ldots,n-1\}\)(\(\small n(\in\mathbb{N})\)底层集合指称)
对等(同势)的集合,\(\,\small I_n\)的元素个数\( n.\, n\)也被称
为与\(\small I_n\)等势的集合的基数.
所有这些定义,及约定的合理性均建筑在命题
\(\color{red}{ I_n\small\,(n\in\mathbb{N})}\)是Dedekind意义上的有限集
为真这点上. 下面是证明：易见命题蕴涵链
\(\small(I_n\simeq A\subsetneq I_n)\implies \exists m< n\,(I_n\simeq I_m)\implies\)
\(\small\exists m< n,\,f\in I_m^{I_n}\,(I_n\underset{\scriptsize f}{\simeq} I_m)\wedge({\scriptsize f(n-1)=m-1})\)
\(\small\implies\exists m< n(I_{n-1}\simeq I_{m-1})\)构成下命题的证明：
若\(\color{red}{I_n}\)是无穷集, 则\(\color{red}{I_{n-1}}\)亦然.\(\quad\)其逆否命题是
\(\color{red}{\small(\dagger)}\,\)若\(\small\color{red}{I_m}\)为有限集, 则\(\small\color{red}{I_{m+1}}\)亦然.\(\;\,\)运用\(\small(\dagger)\)及数
学归纳法即得\(I_n\)为有限集\(\small(\forall n\in\mathbb{N})\). 自然数皆
为有限数, 自然数既是有限基数又是有限序数.
至此定理 \(\color{red}{\mathbb{N}}\)不含超限数已得证.
不论把 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} n\) 视为有限序数升列所决定的首
个极限序数\(\,\small\omega\), 还是可数多个\(\small\,1\,\)的和\(\;\small=\aleph_0\times 1\)
\(\small=\aleph_0,\;\)它都是超限数因而不是自然数.\(\;\)在标准
分析中\(\small\displaystyle\lim_{n\to\infty}n\)有一个符号\(\small\infty\,\)解读, 明说它在\(\mathbb{R}\)
(因而在\(\mathbb{N}\))之外.

参见程极太的【集合论】

春风晚霞 · 发表于 2025-5-1 10:57

本帖最后由春风晚霞于 2025-5-1 10:58 编辑

受教了，但我并不认同你的观点。

春风晚霞 · 发表于 2025-5-1 16:54

本帖最后由春风晚霞于 2025-5-1 18:25 编辑

你跟我急有什么用，你能用康托尔实正整数第一生成法则或皮亚诺公理证明你的命题【自然数皆有限数】吗？我说“受教了，但我并不认同你的观点”这是学术交流的客套话？难道你非要我接受你的那个十言九错的“定理”吗？集合论是康托创立的，超穷数理论也是康托尔提出来的。你说我不信康托尔的来信你的，有这种可能吗？

elim · 发表于 2025-5-2 00:54

本帖最后由 elim 于 2025-5-1 10:13 编辑

无论孬种咋扑腾，咋驴滚，它推翻不了主贴．
超穷数存在于无穷集\(\color{red}{\mathbb{N}}\)之外, 没有超穷自然数

蠢疯白痴真身被验明, 孬氏船漏不打一处来．

春风晚霞 · 发表于 2025-5-2 07:24

本帖最后由春风晚霞于 2025-5-2 07:44 编辑

\(\huge\color{red}{再论\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\mathbb{N}}\)

   方嘉琳先生在《集合论》133页给出了孤立序数和极限序数的概念，方嘉琳先生认为：有直前（直接前趋）的序数叫孤立序数。没有直前（直接前趋）的序数叫极限序数。（参见方嘉琳《集合论》P133页定义3）。并指出有限序数中（除0外）皆为孤立序数，设\(\xi\)为序数，则形如\(\xi+\eta\)的序数也是孤立序数。而\(\omega，\omega+\omega\)等都是极限序数。（参见方嘉琳《集合论》P133页9—10行）。
   在康托尔《超穷数理论基础》中，给出了一个重要的实正整数生成法则，\(\overline{\overline{E_{\nu}}}=\)\(\overline{\overline{E_{\nu-1}}}+1\)。这个法则亦称康托尔实正整数第一生成法则。不难看出这个法与皮亚诺公理的第二条是一致的。其实质都是根据前的数生成后边的数数。所不同的是皮亚诺公理第二条是的对像是“每一个确定的自然数”；而康托尔实正整数第一生成法则的对像是已生成的实正整数整体（即已生成的实正数的集合）。
   康托尔在该书的75页给出了有穷基数的无穷数列1，2，3，…，\(\nu\)，\(\omega，\omega+1\)，…，不难看出这个\(\nu\)就是处于极限位置的序数的极限，即是\(\nu=\displaystyle\lim_{n \to \infty} n\)。康托尔认为实正整数“\(\nu\)既表示把一个个单位加上去的确切计数，又表示它们所汇集成的整体”（参见康托尔《超穷数理论基础》P42页18—19行），也就是\(\nu=\overline{\overline{\{1，2，…，\nu-1，\nu\}}}\)，因为\(\nu\)有直前\(\nu-1\)，所以\(\color{red}{\nu是序数的极限，而不是}\)\(\color{red}{极限序数\omega!}\)。相对于最小可列数集\(\mathbb{N}=\{0,1,2,…，\nu-1,\nu\}\)而言，说\(\nu=\aleph_0\)也不为过！
   根据前面对数\(\nu\)的分析知道普通自然数集\(\mathbb{N}\)是由有限数和无穷数两大部分组成。亦即对于预先给定的，无论怎样大的自然数\(\alpha\)，\(\mathbb{N}=\{n:n\le\alpha\}\)\(\cup\{n:n\>\alpha\}\)。因此ChatGPT说【自然数集集\(\mathbb{N}=\{1，2，3，4，…\}\)是一个无限集，意味着它的元无限，但每个自然数都是有限的，我们可以一个接着一个地数出来，对于任何自然数n，我们能找到一个更大的自然数n+1，但这个过程永远不会达到一个无穷大的自然数】是不严谨的。因为【自然数集集\(\mathbb{N}=\{1，2，…\}\)是一个无限集，意味着它的元无限】，那么表示自然数集\(\mathbb{N}\)中元素个数的自然数也就是无限的。这个表示\(\mathbb{N}\)中元素个数的自然数就不是有限的。就是说\(\overline{\overline{\mathbb{N}}}=\aleph_0\)就是无限的。普通自然数最原始的定义可是“表示事物的个数或编号的数叫自然数”（参见《辞海》自然数词条）。还有数学中的无穷大是集合，是大于预先给定的无论怎样大的正数E的所有数的全体，所以说“这个过程永远不会‘到达’一个无穷大的数”就不是业内人说的行话了。

春风晚霞 · 发表于 2025-5-2 08:18