如何通俗地理解伽马（gamma）函数

luyuanhong

如何通俗地理解伽马（gamma）函数

原创  金朝老师来上课  数据分析学习与实践  2025 年 03 月 16 日 23:08  美国

我为什么要在乎 gamma 函数？

使用 gamma 函数定义了许多概率分布，例如伽马分布，Beta 分布，狄利克雷分布，卡方分布和 t 分布等。

对于数据科学家，机器学习工程师，研究人员来说，gamma 函数可能是一种最广泛使用的函数，因为它已在许多分布中使用。然后将这些分布用于贝叶斯推理，随机过程（例如排队模型），生成统计模型（例如潜在狄利克雷分配）和变分推理。因此，如果您很好地了解了gamma 函数，您将对其中出现的许多应用程序有更好的了解！

1. 为什么需要伽玛函数？

因为我们要泛化阶乘！



阶乘函数仅针对离散点（对于正整数-上图中的黑点）定义，但是我们希望连接黑点。我们想将阶乘函数扩展到所有复数。阶乘的简单公式，不能直接用于小数值，因为它仅在 x 是整数时才有效。 因此，数学家一直在寻找...

[!question] 思考：什么样的函数将这些点平滑地连接起来，并为我们提供所有实数范围内的阶乘？

然而，对于实数，他们找不到可以表示 x  的和、乘积、幂、指数或对数的有限组合！对于实数，直到...

2. 欧拉发现了gamma 函数


gamma 函数

利用上式可以求出任意实值  z 的伽马函数值，假设您要计算  Γ(4.8) 。如何求解上述积分？

你能可以手动计算  Γ(4.8) 吗？也许可以用分部积分法？

试试看，如果发现有趣的方法，请告诉我！对我（以及迄今为止的许多其他人）来说，还没有快速简便的方法来手动评估分数的伽马函数。(如果你有兴趣手工求解，这里是一个很好的起点）。

好吧，那就别用分析法了。你能用程序实现这个从 0 到无穷大的积分吗？

您可以通过几种方法来实现。最常用的两种实现是 Stirling 近似和 Lanczos 近似。

让我们用计算器来计算  Γ(4.8) 。

我们得到了 17.837 。

正如我们所期望的，17.837 介于 Γ(4)=3!=6 和 Γ(5)=4!=24 之间。（当 z 是自然数时，Γ(z)=(z-1)!  我们将很快证明这一点。）

阶乘只接受正整数，而 z 不同，我们可以输入任何实数/复数，包括负数。gamma 函数将黑点连接起来，很好地绘制了曲线。

[!note] Confusion-buster ：我们正在积分从 0 到无穷大的 x（非 z ）。x 是一个被整合掉的辅助变量。我们不是将 4.8 放入 x ，而是将 4.8 放入 z 。

3. 伽马函数如何插值阶乘函数？



观察一下伽马函数，你会发现两点。

首先，就  z 而言，它绝对是一个递增函数。

其次，当  z 是一个自然数时，Γ(z+1)=z!（我保证我们很快就会证明这一点！）。

因此，我们可以期待伽马函数连接阶乘。

伽马函数是如何形成现在的项  x^z 和 e^(-x) 的？

我不知道欧拉的思维过程到底是怎样的，但他是发现自然数 e 的人，所以他一定做了很多将 e 与其他函数相乘的实验，从而找到了现在的形式。

4. gamma 函数的图形是什么样的？


gamma

当 x 变为无穷大 ∞ 时，第一项  x^z  也变为无穷大 ∞ ，但是第二项 e^(-x) 变为零。

然后，伽玛函数会收敛到有限值吗？

我们可以利用  L'Hopital 规则严格证明它的收敛性。不过，我们也可以轻松地看到它的收敛性。仔细想想，我们正在对多项式递增函数 x^z 和指数递减函数 e^(-x) 的乘积进行积分。因为 e^(-x) 的值比 x^z 的值下降得更快，所以伽马函数很有可能收敛并具有有限值。

让我们绘制每个图形，因为眼见为实。




x^z  乘 e^(-x) 的图

让我们看一下  Γ(4.8) 的情况。


图下绿色阴影区域从 0 到无穷大，Γ(4.8)=3.8 !  

5. 伽玛函数的属性

如果您从这篇文章中删除一件事，应该是本节。

[!note] 性质 1 ：给定 z>1 ，Γ(z)=(z-1)Γ(z-1) 或将其写为 Γ(z+1)=zΓ(z) 。

让我们使用分部积分和 gamma 函数的定义来证明它.



[!note] 性质 2 ：如果 n 是一个正整数，则 Γ(n)=(n-1)! 。



什么是 Γ(1) ？



因此，Γ(n)=(n-1)!

您可能还已经看到表达式 Γ(n+1)=n! 而不是 Γ(n)-(n-1)! 。 这只是使右手边成为 n! ，而不是 (n-1)! ，我们所做的就是将 n 移 1 。

6. 使用 gamma 函数的属性，显示 Gamma 分布的 PDF 积分为 1 。

快速回顾一下 Gamma“分布”（不是 Gamma“函数”！）：Gamma 分布。 证明如下：



给证明上瘾者： 让我们来证明上面的红色箭头。



我们将使用代换积分法。



问答：

[!question] 伽玛函数多大了？ 很老。大约 300 年。（您是否正在研究将在 300 年后使用的东西？） 有趣的旁注：欧拉（Euler）在 64 岁时失明，但是在失明后他完成了近一半作品。

1. 一些有趣的值：

           Γ(1/2)=√π 。

许多有趣的方式来表明这一点：

        Γ(-1/2)=-2√π 。

Γ(-1)=Γ(-2)=Γ(-3)=……=∞ 。

你能证明这些吗？

2. 这是快速查看 gamma 函数图的实数。



伽马函数 Γ(z) 用蓝色绘制，而 Γ(z)+sin(πz)  用绿色绘制。（请注意正整数处的交点，因为在正整数处 sin(πz) 为零！）两者都是对非整数的阶乘的有效解析延续。

感谢阅读！

数据分析学习与实践