代数学｜「矩阵」理论小史

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代数学｜「矩阵」理论小史

原创  亲切的桃子 亲切的桃子  2025 年 04 月 27 日 22:22  浙江

关于矩阵理论有诸多可探讨之处，在我看来，矩阵理论理应先于行列式理论。——英国数学家 Arthur Cayley

在电影《黑客帝国》中，未来世界的人类不知不觉地被困在一个虚拟程序创造的世界，片中叫矩阵（Matrix），我更喜欢台湾译名「母体」。在这种「母体」中，生成的程序式可以永生不灭、一再复活，以贯彻母体的意志。

其实，矩阵（Matrix）的数学含义直到 19 世纪才被提出。其来自拉丁词源「matrix」意为怀孕的动物，确有womb（子宫）、source（起源）之意。

但是矩阵含义的历史却可追溯到古代。数学史中的大量证据表明，矩阵的发现或许始于幻方（magic squares）。

河图洛书

《易经·系辞上》记载「河出图，洛出书，圣人则之」。可见早在公元前 650 年的中国古代，就有关于河图洛书的故事。

相传古代曾发生过一场大洪水。大禹治水时，一只乌龟从水中钻出，龟壳上有一个奇特的图案：一个 3×3 的网格，网格中排列着数字的圆点，每行、每列和每条对角线上的数字之和都等于 15 。

大禹依此治水成功，保护中华大地免受洪水侵袭。乌龟壳上的魔方流传下来，被称为「洛书方阵」。


洛书

这里，我们看到了矩阵的雏形——一种由 n^2 个元素组成的数组方阵。

但在一种术语被正式确立之前，相关概念常常已被多次运用。矩阵的重要应用是求解任意多个未知数的线性方程组的问题。

九章算术

到了汉朝（公元前 200 - 前 100 年 ），中国人在使用「矩阵方法」求解联立线性方程组方面，比当时的巴比伦人更为先进。该方法现身于在这个时期成书的《九章算术》现存的古版是公元 3 世纪由魏晋时期数学家刘徽加注的版本。

在《九章算术》的第八章：方程（什么是方程？左右课率，总统群物：故曰方程）。其所谓的方程即现今的增广矩阵。


方程第一问原文

将以上内容翻译成现在的数学语言（不得不说，精简的符号降低了学习成本）


现代化角度看方程第一问

然而，矩阵的概念直到 17 世纪末才重新出现并受到更多关注。

18 世纪矩阵概念应用

在 1700 年至 1710 年间，微积分创始人之一莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz 1646—1716）推广了使用数组来记录信息或求解的方法，产生了行列式的基本概念。这位数学符号发明大师试验了 50 多种不同的数组符号。

莱布尼兹曾在 1677 年的“Preface to the General Science”说：「显然，如果我们能找到一些字符或符号，能像算术表示数字、几何表示线条那样清晰、精确地表达我们所有的思想，那么在所有可进行推理的事务中，我们就能做到在算术和几何中所能做的一切。因为所有依赖推理的研究都可以通过对这些字符进行变换，并借助某种演算来完成。」

1750 年，日内瓦数学家加布里尔·克莱姆（Gabriel Cramer 1704-1752）提出著名的 Cramer 法则，现在是线性代数中必教的内容，可以用行列式来计算出线性等式组中的所有解。


Cramer 法则的原文截图

19 世纪 Matrix 术语的提出

虽然矩阵概念在行列式的应用已持续了一百多年，但仍需要认识矩阵本身与行列式无关的本性，即关注「矩阵」本身。

直到 1848 年，Matrix 这个术语才由英国数学家 J. J. 西尔维斯特（James Joseph Sylvester）创造出来。

他认为矩阵是一种能产生如今被称为「子式」的多个行列式的对象，也就是说，通过去掉矩阵的行和列，可以从原矩阵中衍生出的较小矩阵的行列式。


James Joseph Sylvester，1814-1897

在 1851 年的一篇论文中，西尔维斯特解释道：「我之前的文章中，将 “矩阵” 定义为一个由数组构成的矩形阵列，从这个矩形阵列中可以产生不同的行列式组，就如同从一个共同的母体中孕育出来一样」。


论文“On the relation between the minor determinants of linearly equivalent quadratic functions”

矩阵理论的起步

矩阵代数要想蓬勃发展，既需要恰当的名称表示，也需要正确定义矩阵运算法则。这方面，同样是英国数学家的阿瑟·凯莱（Arthur Cayley 1821-1895）的工作及其重要。


Arthur Cayley : A Memoir on the Theory of Matrices

凯莱于在 1858 年发表的一篇论文“A Memoir on the Theory of Matrices”研究了线性变换的复合，并由此定义了矩阵乘法，使得复合变换  ST 的系数矩阵等于 S 的矩阵乘以 T 的矩阵。

他进而研究了这些复合运算的代数性质，包括矩阵求逆。


矩阵求逆

最后还有著名的 Cayley–Hamilton 定理，该定理可将矩阵高次幂计算其转化为低次幂的线性组合来处理，揭示了方阵和其特征多项式之间的紧密联系，是矩阵理论的核心定理之一。


Cayley–Hamilton 定理（3×3 情况）

论文中，凯莱对 3×3 矩阵证明了该定理，又说进一步证明已没必要。直到 1878 年，德国数学家费迪南德·弗罗贝尼乌斯（Ferdinand Frobenius 1849-1917）于 1878 年在论文“Uber lineare Substitutionen und bilineare Formen”首次证明了该定理的一般情况，内容就比较复杂了。

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