如下两个数列的通项公式如何求

ysr

数列1:  7，127，649……………………
数列2:  2，24，90…………………………

Treenewbee

数列2的通项公式之一：a(n)=（4n-2）*n^2

Future_maths

第一个：201\(n^2\)-483n+289

天山草

此题有无穷多解。
第一题，已知前三项为 7、127、649，a(n)=(275 n^3)/6 - 74 n^2 + (127 n)/6 + 14 和 a(n)=(125 n^3)/2 - 174 n^2 + (409 n)/2 - 86  的前三项也符合要求。
第二题，已知前三项为 2、24、90，a(n)=22 n^2 - 44 n + 24 和 a(n)=(20 n^3)/3 - 18 n^2 + (88 n)/3 - 16 的前三项也符合要求。

可以用下面的小程序求出各种不同的通项公式，例如对于第二题，程序中大括号中的前三个数字是已知的 2，24，90，第四个数字任意给，就可得到不同的通项公式。
也可以任意给定第五个、第六个......数字。

1. Clear["Global`*"];
   
2. InterpolatingPolynomial[{2, 24, 90, 224}, n](*此指令可得到通过给定点的插值多项式*)
   
3. % /. n -> Range[5](*显示通过的各点*)

复制代码

天山草

在无穷多个通项公式中，其中最简单的公式也可以人工计算按以下方法求出：

令插值公式为  an = (b3 (n - 2) + b2) (n - 1) + b1, --------(1)
当 n = 1 时，b1 = a1;  当  n = 2 时，a2 = b2 + b1 = b2 + a1,   所以  b2 = a2 - a1,
当  n = 3 时，a3 = (b3 + b2) 2 + b1, 即  a3 = 2 b3 + 2 a2 - 2 a1 + a1,  所以  b3 = (a3 - 2 a2 + a1)/2,
将 b1, b2,  b3  代入 (1) 式得  an = ((a3 - 2 a2 + a1)/2 (n - 2) + (a2 - a1)) (n - 1) + a1。
即  an = n^2 (a1 - 2 a2 + a3)/2 + n ((-a1 + 2 a2 - a3)/2 - 2 a1 + 3 a2 - a3) + (3 a1 - 3 a2 + a3)。

对于第一题，a1 = 7，a2 = 127， a3 = 649。故最简单通项公式为  201 n^2-483 n+289。
对于第二题，a1 = 2，a2 = 24，a3 = 90。故最简单通项公式为  22 n^2-44 n+24。