不止 π 和 e ！高等数学里的那些神秘常数，你了解几个？

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不止 π 和 e ！高等数学里的那些神秘常数，你了解几个？

原创  遇见数学  遇见数学  2025 年 04 月 28 日 11:16  河南

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数学中存在着一系列深奥而神秘的常数，其中一些在更高级的数学研究中频繁出现。虽然这些常数不如 π 和 e 那样出名，但在数学研究中一样扮演着举足轻重的角色。

欧拉-马斯刻若尼常数 γ


作者 William Demchick (Kiwi128) - 自己的作品，CC BY 3.0，https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=12752666

欧拉常数或欧拉-马斯刻若尼常数（Euler--Mascheroni constant），通常用希腊字母 γ 表示，是通过以下极限定义的：



γ 的数值约为：

0.57721566490153286060651209008240243104215933593992...（在 OEIS 数列数据库中的编号为 A001620）

γ 在数学中广泛存在，尤其在数论领域显得尤为重要。它出现在梅滕斯第三定理中 （该定理涉及素数的分布），也出现在除数函数增长率的估计公式中。此外，它与伽马函数及其导数、黎曼 zeta 函数都有密切联系，并且存在许多包含 γ 的积分和级数表达式。

尽管欧拉-马斯刻若尼常数应用如此广泛，但它的基本性质却仍然是数学界的未解之谜。我们至今不知道它是有理数还是无理数，也不清楚它是代数数还是超越数。正因如此，有人将 γ 描述为“在重要性上仅次于 π 和 e 的数学常数”。

阿培里常数 ζ(3)

阿培里常数（Apéry's constant）是黎曼 zeta 函数在 s=3 处的特殊值，定义为自然数立方的倒数之和：



令人惊讶的是，尽管经过几个世纪的努力，数学家们仍未能用基本数学常数（如 π 或 e）以及初等函数来表示 ζ(3) 。目前普遍猜测这样的表达式可能根本不存在，但这一猜想尚未被证明。不过，数学家们已经发现了许多用无穷级数表示  ζ(3) 的方法。

阿培里常数不仅在纯数学中具有重要地位，在物理学中也有自然出现，特别是在量子电动力学中计算电子磁旋比的高阶修正项时。

这个常数因法国数学家罗杰·阿培里（Roger Apéry）而得名，他在 1979 年证明了 ζ(3) 是一个无理数，解决了一个长期悬而未决的问题。然而，我们至今仍不知道它是代数数（即某多项式方程的根）还是超越数（不是任何多项式方程的根）。

阿培里常数的数值约为：

1.20205690315959428539973816151144999076498629234049...（在 OEIS 中的序列编号 A002117）

卡塔兰常数 G

卡塔兰常数（Catalan's constant），通常用字母 G 表示，定义为奇数平方倒数的交替和：



卡塔兰常数在组合数学和数论中经常出现，它与多种计数问题有关，如特定类型的格路径计数。令人惊讶的是，它甚至在天体物理学中也有应用，比如在计算螺旋星系的质量分布时。

与前面介绍的常数类似，卡塔兰常数的算术性质（即它究竟是有理数、无理数、代数数还是超越数）至今仍未得到解答。有人甚至称它“可能是最基础的常数之一，尽管我们强烈怀疑它既是无理数又是超越数，但目前仍然没有严谨的证明”。此外，卡塔兰常数还有许多积分和级数的表示形式。


卡塔兰常数以法国和比利时数学家欧仁·夏尔·卡塔兰（Eugène Charles Catalan）的名字命名，他在 19 世纪对组合数学做出了重要贡献。

G 的数值约为：

0.91596559417721901505460351493238411077414937428167...（在 OEIS 中的序列编号 A006752）

费根鲍姆常数 α 和 δ


米切尔·费根鲍姆（1944 年 12 月 19 日 — 2019 年 6 月 30 日），图自维基

费根鲍姆常数（Feigenbaum constants）是与非线性动力系统和混沌理论密切相关的两个数学常数，以美国数学物理学家米切尔·费根鲍姆（Mitchell Feigenbaum）的名字命名。它们分别用希腊字母 α 和 δ 表示。

这两个常数出现在迭代映射的研究中，特别是在研究具有二次极大点的 logistic 映射及其分岔现象时。简单来说，当我们反复应用特定的非线性函数（如 logistic 映射）并改变其参数时，系统会经历一系列周期分岔，最终导致混沌行为。



举个例子，考虑函数 f(x)=rx(1-x) ，其中 r 是一个参数。当 r 从小值逐渐增大时，这个函数的迭代行为会从简单到复杂：首先收敛到一个固定点，然后变成周期为 2 的循环，接着是周期 4、周期 8...以此类推，周期不断翻倍，最终进入混沌状态。费根鲍姆发现，这些周期翻倍出现的参数值之间的比率会收敛到常数  δ≈4.669… 。

具体来说，常数 δ 是连续周期倍增分岔之间参数区间比率的极限值，而常数 α 则与分岔图中分叉结构的几何比例有关，它是一个尖峰的宽度与其子尖峰宽度的比率。

logistic 映射在生态学中最初被用来模拟种群增长：当资源丰富时，种群以接近最大增长率增长；当接近环境容量时，增长率下降。澳大利亚生物学家罗伯特·梅（Robert May）在 1976 年的开创性论文中使这个映射广为人知，展示了简单方程如何产生极其复杂的行为。

令人惊奇的是，费根鲍姆常数具有普适性：它们不仅出现在 logistic 映射中，还出现在许多其他具有类似特性的非线性系统中，无论系统的具体细节如何。这种普适性已经被数学严格证明，使得这些常数在混沌理论中占有重要地位，类似于 π 在几何学中和 e 在微积分中的地位。

与本文讨论的其他常数一样，我们尚不知道费根鲍姆常数是无理数还是有理数，是超越数还是代数数。

δ 和 α 的近似数值分别为：

δ ≈ 4.66920160910299067185320382046620161725818557747576...（在 OEIS 中的序列编号 A006890）

α ≈ 2.50290787509589282228390287321821578638127137672714...（在 OEIS 中的序列编号 A006891）

原内容及图片源自维基百科，遵循 CC BY-SA 4.0 协议。

原文：  en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_constant#Constants_in_advanced_mathematics

翻译：【遇见数学】译制，并补充部分内容/图片