在 3×3 棋盘上放 3 个（2 个）不同行、不同列的城堡（车），有几种不同的放法？

wintex

請問數學，想問2

Treenewbee

这个过于简单了：

先从3列选1列不放车，共有3种情况
对于放车的2列，左面的一列有3种选择，右面的一列不能同行，有2种选择

共计3*3*2=18种放法

luyuanhong

题 1  在 3×3 棋盘上放 3 个不同行、不同列的城堡（车），有几种不同的放法？

解  在第一行可以任意放一个城堡，有 3 种不同的放法。

    第二行的城堡不能与第一行同列，所以只有 2 种不同的放法。

    第三行的城堡不能与第一、第二行同列，所以只有 1 种放法。

    综合以上分析，可知本题共有 3×2×1 = 6 种不同的放法。


题 2  在 3×3 棋盘上放 2 个不同行、不同列的城堡（车），有几种不同的放法？

解  首先，可以任意选一行作为空行，有 3 种不同的选法。

    除了空行以外，剩下的两行，我们称为第一行、第二行。  

    在第一行可以任意放一个城堡，有 3 种不同的放法。

    第二行的城堡不能与第一行同列，所以只有 2 种不同的放法。

    综合以上分析，可知本题共有 3×3×2 = 18 种不同的放法。

wintex

luyuanhong 发表于 2025-5-5 09:30
题 1  在 3×3 棋盘上放 3 个不同行、不同列的城堡（车），有几种不同的放法？

解  在第一行可以任意放 ...

陸老師：
想請問，題1,為何不能理解成一開始有9個格子可放？

luyuanhong

wintex 发表于 2025-5-6 23:23
陸老師：
想請問，題1,為何不能理解成一開始有9個格子可放？

    题 1  在 3×3 棋盘上放 3 个不同行、不同列的城堡（车），有几种不同的放法？
   
    解  本题中的 3 个城堡是无区别的，下面暂时认为它们是有区别的，将它们记为 A,B,C 。

    A 可以在棋盘中任意摆放，有 3×3 = 9 种不同的放法。

    B 不能与 A 同行，也不能与 A 同列，所以只有 2×2 = 4 种不同的放法。

    C 不能与 A,B 同行，也不能与 A,B 同列，所以只有 1×1 = 1 种放法。

    所以，有区别的 A,B,C ，共有 9×4×1 = 36 种不同的放法。

    但是，本题中的 3 个城堡其实是无区别的。A,B,C 内部互相交换，得到不同的排列，其实只能算是一种。

    A,B,C 内部互换，不同的排列有 3！= 6 种，6 种只能算一种，因此，前面算出的结果还要除以 6 。

    所以，本题共有 36 ÷ 6 = 6 种不同的放法。


题 2  在 3×3 棋盘上放 2 个不同行、不同列的城堡（车），有几种不同的放法？

解  本题中的 2 个城堡是无区别的，下面暂时认为它们是有区别的，将它们记为 A,B 。

    A 可以在棋盘中任意摆放，有 3×3 = 9 种不同的放法。

    B 不能与 A 同行，也不能与 A 同列，所以只有 2×2 = 4 种不同的放法。

    所以，有区别的 A,B ，共有 9×4 = 36 种不同的放法。

    但是，本题中的 2 个城堡其实是无区别的，A,B 内部互相交换，得到不同的排列，其实只能算是一种。

    A,B 内部互换，不同的排列有 2！= 2 种，2 种只能算一种，因此，前面算出的结果还要除以 2 。

    所以，本题共有 36 ÷ 2 = 18 种不同的放法。

wintex

luyuanhong 发表于 2025-5-7 10:07
题 1  在 3×3 棋盘上放 3 个不同行、不同列的城堡（车），有几种不同的放法？
   
    解  本 ...

陸老師：那你選列行那解法，為何不除以3！

luyuanhong

wintex 发表于 2025-5-8 11:45
陸老師：那你選列行那解法，為何不除以3！

在第 5 楼的解法中，先暂时认为 3 个城堡是有区别的，将它们记为 A,B,C 。

在认为 3 个城堡有区别的情况下，算出了一个结果。

但是， 3 个城堡其实是无区别的，所以上面算出的结果还要除以 3！ 。

在第 3 楼的解法中，并没有“先认为有区别，再回到无区别”的过程，所以不需要除以 3！。