【数学大事】 1872 年：分析大厦的奠基礼

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【数学大事】 1872 年：分析大厦的奠基礼

原创  杜瑞芝  数学史之窗  2025 年 04 月 01 日 06:37  辽宁

1872 年，德国哥廷根大学数学系的一间办公室里，戴德金正在整理他的讲义。这位性格温和的数学家并不知道，他即将寄出的那份《连续性与无理数》手稿，将与 G. 康托尔的集合论、魏尔斯特拉斯的 ε-δ 语言共同构成数学史上的里程碑。当这些思想在不伦瑞克、柏林和哈雷之间传递时，数学家们突然意识到，那个困扰他们 100 多年的数学分析大厦，即将浇筑好坚固的基石。

微积分：发展与困惑共存

牛顿和莱布尼茨在 17 世纪创立了微积分，就像两个天才少年发明了魔法。他们用“无穷小量”这个神秘武器轻松解决了前人不少束手无策的问题：行星轨道、物体运动和曲线长度等。数学家们将“无穷小算法”应用于各种不同的问题上，不仅发展了微积分，而且取得许多影响深远的新成果。但事实上，牛顿和莱布尼茨的工作从一开始就受到质疑和批评。如荷兰物理学家纽汶蒂（B.Nieuwentyt，1654-1718）在其著作《无穷小分析》中指责牛顿的流数术叙述“模糊不清”，莱布尼茨的高阶微分“缺乏根据”等。最令人震撼的抨击是来自英国哲学家、牧师伯克莱（G.Berkeley，1685-1753），他在 1734 年发表小册子《分析学家，或致一位不信神的数学家》，攻击牛顿流数论中关于无穷小量前后矛盾的假设是“诡辩”，而无穷小量则是“消逝的量的鬼魂”。对微积分基础的质疑通常被称为数学史上的第二次危机。

在 18 世纪微积分学很快发展成一门独立的学科，具备了极为丰富的内容和十分广泛的应用。但它自己尚未形成逻辑严密的理论体系，甚至它最基本的概念，如函数、导数、微分、积分、极限、函数的连续性等，都还没有给出严格的定义。18 世纪欧洲大陆的数学家们力图以算术化的途径来克服微积分基础带来的困惑，如达朗贝尔在为法国《百科全书》撰写的文章“微分”中探讨了微分学的基础，他用两个变量之间的差可以“任意小”来定义极限，代替了牛顿含糊的“最初比”与“最终比”；欧拉在其著作《微分学》中提出了关于“无穷小的阶”的理论，认为无穷小就是零，但却存在着“不同阶的零”，也就是不同阶的无穷小；拉格朗日则在《解析函数论》一书中，试图使微积分摆脱无穷小量和极限，提出用泰勒级数的系数来定义导数，而将微积分归结为“纯粹的代数分析艺术”。所以这些，虽然都向着 19 世纪分析严格化的方向迈进，但概念和方法的严密性仍待解决。

奠基礼的前奏

18 世纪末到 19 世纪初，为微积分奠基的工作已迫切地摆在数学家们面前。19 世纪上半叶分析严格化的倡导者有高斯、波尔查诺、柯西和阿贝尔等人。高斯是 19 世纪分析严格化的先驱之一。他对超几何级数进行了详细而严密的研究，1813 年发表的《无穷级数的一般研究》是最早的有关级数收敛性的工作。波尔查诺是将严格论证导入分析学的主要学者之一，他对分析基础的建立做出了重要的贡献。1816 年他建立了序列和级数收敛的一般准则。在《纯粹分析的证明》（1817）一书中他放弃了无穷小量的概念，用极限观念给出了函数连续性的定义。后来他又正确地区别了连续性与可微性的差异，并在数学史上首次（1834）给出了处处不可微的连续函数的例子。但是他的工作没有及时被数学界所了解。柯西是对分析严格化影响最大的学者，1821 年发表了代表作《分析教程》，除独立得到波尔查诺的基本结果外，还提出关于极限理论的 ε 定义法，把整个极限过程用不等式来描述。《分析教程》是建立分析严格理论的第一部重要著作。阿贝尔一直强调分析中定理的严格证明，在 1826 年最早使用一致收敛的思想证明了一致收敛的连续函数幂级数之和在其收敛域内连续，他还得到一致收敛的判别准则以及关于幂级数求和的定理。

时间来到 1872 年

1872 年，这是数学史上具有里程碑意义的一年。在这一年，三位德国数学家——魏尔斯特拉斯、戴德金和 G. 康托尔——以各自开创性的研究，为数学分析的严格性奠定了基石。他们在确认有理数存在的前提下，通过不同途径（单调有界数列、戴德金分割和有理数基本序列）给出无理数的精确定义，由此建立了实数理论，重塑了微积分的基础。他们的工作堪称数学分析大厦的“奠基礼”。

魏尔斯特拉斯：分析学的严格化


魏尔斯特拉斯

魏尔斯特拉斯（K. Weierstrass，1815—1897）是把严格的论证引进分析学的一位大师，其批判精神对 19 世纪数学产生很大影响，在数学史上起到承前启后的作用。从 1841 年起，他就开始了把分析奠基于算术的研究。他把柯西的极限 ε 定义法发展为现代通用的 ε-δ 语言，重新定义了极限、连续、导数等微积分的基本概念，以此重建分析体系。他还在 1861 年构造了一个处处连续但无处可导的病态函数，颠覆了数学家们“连续函数必可导”的传统认知，揭示了直观的局限性，迫使数学界重新审视分析学的基础。然而，由于魏尔斯特拉斯对于发表论著一向不积极，他的工作主要是通过课堂讲授传播的，他的学生成为其学术思想的义务宣传员，而他的讲稿就是分析严格化的典范。他的学生回忆，教授曾在寒冬反复修改一个定理的证明，直到教室里的煤油灯都点亮了，他仍在寻找“绝对严格的表达方式”。

F. 克莱因认为，在对分析算术化方面的研究，魏尔斯特拉斯作出了高于其他一切人的贡献。 D. 希尔伯特则认为：“魏尔斯特拉斯以其酷爱批判的精神和深邃的洞察力，为数学分析建立了坚实的基础。通过澄清极小、函数、导数等概念，他排除了微积分中仍在涌现的各种异议，扫清了关于无穷大和无穷小的各种混乱观念，......”魏尔斯特拉斯也因此被誉为“现代分析学之父”。

1872 年，魏尔斯特拉斯用单调有界数列定义无理数的工作由他的学生柯沙克（E.Kossak） 在自己的著作《算术原理》中发表，书中还公布了魏尔斯特拉斯给出的数集的上、下极限，极限点和连续函数等严格定义。同年，魏尔斯特拉斯在柏林科学院的一次讲演中披露了他于 1861 年所构造的著名的病态函数。

戴德金：实数理论的完备化


戴德金

戴德金（J. W.R.Dedekind，1831—1916） 的主要贡献在实数理论和代数数论方面。他从 1858 年教授微积分的时候就准备为微积分奠定一个稳定的基础。正如他自己所说：“作为苏黎世综合工科学院的教授，我发现自己第一次不得不讲授微分要素的时候，比以往任何时候都更敏锐地感受到它缺乏真正科学的算术基础。”当年晚些时候他就得到了实数和直线上的点有着一一对应的关系，从而有理数和无理数可以构成一个（无空隙的）实数的连续系统。进而提出用“戴德金分割”来定义无理数，并对连续性理论进行深入研究，为实数理论的完备化做出了重要贡献。

1872 年，戴德金的《连续性与无理数》一书出版，所创立的以“戴德金分割”定义无理数的工作问世，使他与魏尔斯特拉斯和 G. 康托尔一起成为现代分析大厦的奠基人。

康托尔：集合论与无穷的革命


G．康托尔

在分析的严格化过程中，一些基本概念如极限、实数、级数等的研究都涉及由无穷多个元素组成的集合，特别是在对那些不连续函数进行分析时，需要对使函数不连续或使收敛问题变得很困难的点集进行研究，这样就导致了集合论的建立，狄利克雷，黎曼等人都研究过这方面的问题，但只有 G. 康托尔在这一过程中系统发展了一般点集的理论并开拓了一个全新的研究领域。

G．康托尔（G. Cantor， 1845—1918）是集合论的创始人。他 1874 年发表了关于集合论的第一篇论文《关于全体实代数数的一个性质》，标志着集合论的诞生。之后又发表一系列论文来发展和完善自己的理论。他构造了实变函数论中著名的“康托尔集”，给出测度为零的不可数集的一个例子。1877 年，他又证明了 n 维形体上的点和直线上的点可以构成一一对应。之后又研究无穷数和超限数理论，引进势、基数和序数等概念。1878 年提出了著名的连续统假设（CH）。1900 年希尔伯特在巴黎国际数学家大会上所做的著名讲演中把 CH 列为当时未解决的 23 个数学问题中的第一个。他的工作给数学发展带来一场革命：集合论的出现像一束强光，照进了数学的每个角落。

G. 康托尔在 1872 年发表了题为《关于三角级数中一个定理的推广》的论文，文中提出从有理数出发建立无理数的思想，后来正式撰文给出以引进“基本序列”定义无理数的较详细的论述，并引进新的数类——实数，从而确立实数理论，成为 1872 年分析大厦奠基礼上的三剑客之一。

结语

1872 年的数学界，经历了一场静默的“奠基礼”。魏尔斯特拉斯的严谨性、戴德金的完备性、康托尔的创造性，共同编织了一张覆盖分析学、代数学与集合论的逻辑之网，最终让数学从自然哲学的附庸，成长为能够自我验证、自我完善的精确科学，为人类理性树立起一座不朽的丰碑。站在 21 世纪回望，1872 年的思想革命揭示了一个深刻真理：数学的严谨不是对创造力的束缚，而是更高层次自由的通行证。当数学家们放下几何直观的拐杖，用纯粹的逻辑建构世界时，他们获得的不仅是真理，更是创造真理的能力。

数学名言

如果牛顿和莱布尼茨想到过连续函数不一定有导数——而这却是普遍存在的情形，那么微积分就绝不会被创造出来。

      ——（法国数学家）皮卡（C. E. Picard，1856.7.24—1941.12.11）

严格性对于数学家，就如道德之对于人。

      ——（法国数学家）韦伊（A.Weil， 1906—1998）

《数学家辞典》简介



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