从高斯日记看数学王子的天才时刻

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从高斯日记看数学王子的天才时刻

原创  遇见数学  遇见数学  2025 年 04 月 16 日 11:16  河南

高斯日记

高斯日记是德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss）从 1796 年到 1814 年记录其数学发现的个人笔记。这本珍贵的历史文献于 1897 年被重新发现，随后由数学家克莱因（Klein）于 1903 年整理出版，并收录于高斯全集第十一卷以及 2005 年的高斯专著中。数学史学家格雷（Gray）在 1984 年提供了带有详细学术评注的英文翻译，该翻译后来被收入丹宁顿（Dunnington）2004 年出版的高斯传记第二版中。

日记条目示例与解析

高斯日记中的大多数条目都以拉丁文书写，简短精炼，有时甚至显得晦涩难懂，但每一条都记录了重要的数学突破。

正十七边形的历史性突破（1796 年 3 月）



条目 1 ，写于 1796 年 3 月 30 日："Principia quibus innititur sectio circuli, ac divisibilitas eiusdem geometrica in septemdecim partes etc."（圆的等分原理及其几何上分为十七等份的可行性等）。

这条记录了 19 岁的高斯实现的第一个重大数学突破——他证明了正十七边形可以用尺规作图构造，并给出了具体方法。这一发现解决了自欧几里得时代以来存在了两千多年的古希腊几何问题。在高斯之前，数学家们只知道如何用尺规作图构造正三角形、正方形、正五边形和由这些图形的边数倍增得到的正多边形。高斯的这一发现不仅拓展了可构造正多边形的范围，还为后来完全解决哪些正多边形可以用尺规作图的问题奠定了基础。据高斯自述，正是这一发现坚定了他献身数学研究的决心。

三角形数之和（1796 年 7 月）



条目 18 ，写于 1796 年 7 月 10 日：“ΕΥΡΗΚΑ ! num = Δ + Δ + Δ ”（我发现了！任意数等于三个三角形数之和）。

这里的“ΕΥΡΗΚΑ”（Eureka）是希腊语“我发现了”的意思，源自阿基米德的著名典故。“Δ”符号代表三角形数，即形如  n(n+1)/2 的数列：1, 3, 6, 10, 15...。这条记录了高斯证明了任何自然数都可以表示为至多 3 个三角形数之和。例如，15=10+3+2（左式错误, 应为：15=6+6+3 ）。

这一结果是著名的费马多边形数定理（Fermat polygonal number theorem）的特例。该定理断言每个自然数都可以表示为最多 n 个 n 边形数的和。费马在 1638 年提出了这一猜想，但只证明了 n=3（三角形数）和 n=4（正方形数）的情况。高斯在此完成了 n=3 的完整证明，而整个定理直到 1813 年才被柯西完全证明。

算术几何平均与椭圆函数的联系（1796 年 10 月）



条目 43 ，写于 1796 年 10 月 21 日：“Vicimus GEGAN”（我们征服了 GEGAN）。

这条神秘的记录困扰数学史学家多年。1997 年，比尔曼（Biermann）通过研究高斯手稿找到了破解密码的关键：GEGAN 实际上是 NAGEG 的反序，而 NAGEG 是“Nexum medii Arithmetico-Geometricum Expectationibus Generalibus”（算术几何平均与一般期望的联系）的首字母缩写。

这表明高斯在这一天成功地建立了算术几何平均值（arithmetic geometric mean，AGM）与椭圆函数（elliptic functions）之间的深刻联系。算术几何平均是指对两个正数 a 和 b，不断计算它们的算术平均  (a+b)/2 和几何平均 √(ab) ，并将结果作为新的 a 和 b 继续迭代，最终收敛到的值。高斯发现这一迭代过程与某些椭圆积分和椭圆函数有着密切关系，这一发现为后来的分析学和数学物理开辟了新的研究方向。

双二次剩余与轭双曲函数（1814 年 7 月）

条目 146 ，写于 1814 年 7 月 9 日，是高斯日记的最后一个条目。

它记录了一个关于双二次剩余（biquadratic residues）和 lemniscate functions（译为：双纽线椭圆函数？）的重要观察。这一结果后来由高斯本人和印度数学家乔拉（Chowla ，1940 年）证明。

用现代数学语言表述，高斯观察到：如果 a+bi 是一个高斯整数域 Z{i} 中的素数（即高斯素数），且 a-1+bi 能被 2+2i 整除，那么同余方程 1≡x^2+y^2+x^2y^2 (mod a+bi) 的解的数量，包括特殊点 x=∞ ，y=±i 和 x=±i ，y=∞ 在内，恰好等于 (a-1)^2+b^2 。

这一结果将数论中的同余理论与复分析中的特殊函数建立了精妙的联系，展示了高斯跨越不同数学分支的非凡洞察力。双纽线椭圆函数与椭圆积分有关，而双二次剩余则是数论中的基本概念，高斯能够在看似无关的领域之间发现深刻联系，这正是他被称为“数学王子”的原因之一。

原内容及图片源自维基百科，遵循 CC BY-SA 4.0 协议。

原文：en.wikipedia.org/wiki/Gauss's_diary

翻译：【遇见数学】译制，并补充部分内容/图片