\(\huge\color{red}*(\lim n\not\in\textbf{N})\textbf{不导致} (\textbf{N}=\phi)\)

春风晚霞

       elim先生于2025-5-16 23:45所给定理是伪命题，为防elim先生删帖，现全文抄录评述于后:
       【【定理】\(v=\displaystyle\lim_{n \to \infty}n=sup\mathbb{N}\notin\mathbb{N}\)
       【证明】根据皮亚诺公理，若\(v\in\mathbb{N}\)，则其后继m亦然得矛盾:\(v=sup\mathbb{N}≥m=v+1>v\)
       【注记】自然数集的上确界不小于任何自然数 .】
       〖评述:〗elim先生的这个命题写成标准形式应为:若\(v=\displaystyle\lim_{n \to \infty}n=sup\mathbb{N}，则v\notin\mathbb{N}\) .不难看出elim先生的题设条件(即大前题)是错误的。其错误原因在于先生错用上确界的概念。《数学分析》中单增数列的上确界存在性，要求这个数列的极限值存在(即这个极限值是个确定的值，不能是∞，所以\(v=\displaystyle\lim_{n \to \infty}n≠sup\mathbb{N}\))，elim先生不能正确区分《数学分析》和《集合论》中\(\lim n\)的本质不同，出此错误亦属于必然。其次elim先生的【证明】是循环论证。由命题的题设知，先生是在不承认超穷数存在的条件证明超穷数不存在的，故为循环论证 .同时先生最多只证明了\(v=\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)的后继不存在，并没有证明\(v=\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)的前趋不存在，所以用转移论题的手法论证\(v=\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\notin\mathbb{N}\)的逻辑演译也是错误的。elim先生的【注证】是再次运用其错误认知强调其错误的结果！最后春风晚霞提请先生注意，只有证明了的正确命题才能叫定理 .看样子elim先生不是学师范数学的，你确实分不清判断、命题、定理之间的关糸，出此洋相也情非己愿 .

elim

【定理】\(v=\displaystyle\lim_{n\to\infty}n =\sup\mathbb{N}\not\in\mathbb{N}.\)\(\\\)
【证明】据皮亚诺公理, 若\(v\in\mathbb{N}\), 则其后继\(m\)亦然
\(\qquad\quad\) 得矛盾 \(v=\sup\mathbb{N}\ge m=v+1>v.\quad\square\)
【注记】自然数集的上确界不小于任何自然数．

春风晚霞

       elim先生于2025-5-18 02:51再发宿帖给出的定理是伪命题，不过谎言千遍仍是谎言！
       elim宿帖全文如下：
       【定理】\(v=\displaystyle\lim_{n \to \infty}n=sup\mathbb{N}\notin\mathbb{N}\)
       【证明】根据皮亚诺公理，若\(v\in\mathbb{N}\)，则其后继m亦然得矛盾:\(v=sup\mathbb{N}≥m=v+1>v\)
       【注记】自然数集的上确界不小于任何自然数 .
       〖评述:〗elim先生的这个命题写成标准形式应为:若\(v=\displaystyle\lim_{n \to \infty}n=sup\mathbb{N}，则v\notin\mathbb{N}\) .不难看出elim先生的题设条件(即大前题)是错误的。其错误原因在于先生错用上确界的概念 .《数学分析》中单增数列的上确界存在性，要求\(v=\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)极限值是确定值，不能是\(∞\)，所以\(v=\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)\(≠sup\mathbb{N}\))，elim先生不能正确认识《数学分析》和《集合论》中\(\lim n\)的本质区別，出此错误亦属必然 .其次elim先生的【证明】亦是循环论证 .由命题的题设知，先生是在不承认超穷数存在的条件下证明超穷数不存在的 ，故为循环论证 .其实，elim先生最多只“证明”了\(v=\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)的后继不存在，并没有证明\(v=\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)的前趋不存在(即先生的出发点根本不是证明\(v\notin\mathbb{N})\) .所以先生用偷换论题的方法论证\(v=\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\notin\mathbb{N}\)的逻辑演译也是错误的 .elim先生的【注记】是再次运用其错误认知强调其错误的结果！elim先生应当知道，只有证明了的正确命题才能叫定理 .看样子elim先生不是学师范数学的，你确实分不清判断、命题、定理之间的关糸，出此洋相也情非得以！

elim

【定理】\(v=\displaystyle\lim_{n\to\infty}n =\sup\mathbb{N}\not\in\mathbb{N}.\)\(\\\)
【证明】据皮亚诺公理, 若\(v\in\mathbb{N}\), 则其后继\(m\)亦然．
\(\qquad\quad\)得矛盾 \(v=\sup\mathbb{N}\ge m=v+1>v.\quad\square\)
【注记】自然数集的上确界不小于任何自然数．


从分析的观点看这个定理是显然的：因为\(\{n\}\)
非柯西序列, \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}n\)不存在, 当然就不是自然数.
这个定理是要指出，在更底层的集合论的义下
\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}n\) 仍然不是自然数. 在集论中自然数由递
归式给出 \(\small 0=\phi, n+1=n\cup\{n\}=\{0,\ldots,n\}\)
自然数间的大小关系等价于真扩集/子集关系.
由此即知自然数序列作为严格增序列的极限是
\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}n=\bigcup_{n=1}^\infty\{0,\ldots,n\}=\mathbb{N}=\sup\mathbb{N}\).
这里第一个等号从集合升列的极限的集论公式
得到，最后一个等号由上确界及自然数的集论
序关系给出．由于\(\mathbb{N}\)没有最大元，其任何上界
都不能是其成员(不能是自然数)．
【定理】\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}n=\mathbb{N}=\sup\mathbb{N}\not\in\mathbb{N}\) 的以上论
\(\quad\)证以皮亚诺公理为据. 自然数的集论表达式,
\(\quad \mathbb{N}\)无最大元论断需要全部皮亚诺公理支撑．

【注记】康托的基数理论及序数理论是对皮亚
\(\quad\)诺的自然数理论从有穷基数全体向一般基数,
\(\quad\)从有限序数全体向一般序数的扩展. 皮亚诺
\(\quad\)意义下的自然数全体是\(\mathbb{N}\). 一切不在\(\mathbb{N}\)中的元
\(\quad\)素必有不合皮亚诺公理之处. 康托从来没有称
\(\quad\)他的超穷数为自然数. 也没有任何书著称\(\mathbb{N}\)含
\(\quad\)非有穷元素．

春风晚霞

       从elim先生2025-5-18 06:39所发帖子的12行\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n=\)\(\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty}\{0，1，…n\}\)\(=\mathbb{N}=sup\mathbb{N}\)和第17行【定理】\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n=\)\(\mathbb{N}=sup\mathbb{N}\)\(\notin\mathbb{N}\)立得【定理】的表达实质是\(\mathbb{N}\notin\mathbb{N}\)!所以，elim先生自证了所给命题\(v=\displaystyle\lim_{n \to \infty}n=sup\mathbb{N}\)\(\notin\mathbb{N}\)是个伪命题！另外皮亚诺意义下的自然数全体是康托尔实正整数集，由于冯\(\cdot\)依曼自然数定义中\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n=\mathbb{N}\)是一个确定的数，根据皮亚诺公理第二条“、每一个确定的自然数\(a\)，都具有确定的后继数\(a' ，a'\)也是自然数”,所以\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)的后继\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n+1\)也是自然数。是的。康托从来没有称他的超穷数为自然数。但康托尔又在什么地方说了\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)不是自然数呢？

elim

1）集论是数学基础,  从归纳集\(U\)的本征性质:
\(\quad\;\;(\phi\in U)\wedge(\forall u\in U(u\in U\implies u\cup\{u\}\in U))\)
\(\quad\;\;\)结合无穷公理确立的最小归纳集\(S\), 后继映射
\(\quad\;\,\;s: n\mapsto n\cup\{n\},\)记\(\phi\)为\(0,\;s(n)\)为\(n+1\),并记
\(\quad\;\,\;m\subsetneq n\)为\(m< n,\)致使\(S\)成为满足皮亚诺公理
\(\quad\;\;\)的良序构造, 记所论\(S\)为\(\mathbb{N}\), 其元素为自然数.
\(\quad\;\;\)皮亚诺给出自然数的定义, 冯诺伊曼构造自然
\(\quad\;\;\)数(确立\(\mathbb{N}\)的存在, 给出了\(n(\in\mathbb{N})\)的集论结构);
\(\quad\;\;\)康托对\(\mathbb{N}\)作了非自然数的基数、序数序扩张.
2）从自然数的冯诺伊曼构造知道, 分析意义下不
\(\quad\;\,\)存在的\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}n\)在集论意义下收敛(上下极限等)
\(\quad\;\;\)经简单计算立得\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}n=\sup\mathbb{N}=\mathbb{N}\not\in\mathbb{N}\)
3）归纳集\(\mathbb{N}\)的最小性是自然数皆有限数的根源．
\(\quad\;\,\)令\(\mathbb{N} ’=\{m\in\mathbb{N}:\;m<  v\}\)(\(v\)为最小无穷数)
\(\quad\;\,\)易见\(\mathbb{N}’\)是归纳集．皮亚诺公理第五条称\(\mathbb{N}’\)
\(\quad\;\;\,=\mathbb{N}\)即\(\mathbb{N}\)只含有限数(当然有限数有无穷多).
\(\quad\;\,\;\mathbb{N}\)没有归纳真子集．皮亚诺第五条表明\(\mathbb{N}\)是
\(\quad\;\,\)最小归纳集．


只有集论白痴才畜生不如地啼\(\mathbb{N}\not\in \mathbb{N}\)不自洽的猿声.

春风晚霞

       我不管你是翘楚还是白痴，更不你的逻辑是底层逻辑还是顶层逻辑。你的【\(v=\displaystyle\lim_{n \to \infty}n=\)\(\mathbb{N}=\)\(sup\mathbb{N}\)\(\notin\)\(\mathbb{N}\)】就是混帐逻辑！现证明\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\mathbb{N}\)\(\ne\sup\mathbb{N}\)!
       【证明:】根据冯\(\cdot\)诺依曼自然数构成法后继的定义：对于集合\(x\)称集合\(x\cup\{x\}\)为\(x\)的后继 （参见清华大学张峰 陶然著《集合论基础教程》P84页定义5.2.1） .\(v=\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\{0,1,2,…（\displaystyle\lim_{n \to \infty}n-1),\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\}=\)\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n+1\),所以elim先生的【\(v=\displaystyle\lim_{n \to \infty}n=\)\(\mathbb{N}=\)\(sup\mathbb{N}\)\(\notin\)\(\mathbb{N}\)】逻辑就是混帐逻辑！当然我们可根据单增集列\(0=\phi\)，\(1=\{0\}\),\(2=\{0,1\}\)，…\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n=\{0,1,…(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n-1)\}\)，\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n+1=\{0,1,…\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\}\)，证得\(sup\mathbb{N}=\displaystyle\lim_{n \to \infty}n+1\in\displaystyle\lim_{n \to \infty}n+2\)!【证毕】
       故此只有畜生不如的白痴才会认为\(\mathbb{N}\notin\mathbb{N}\)是自洽的！