经典奥数问题 —— 报数游戏

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经典奥数问题 —— 报数游戏

原创  小猿科普 小猿科普  2025 年 04 月 04 日 08:15  北京

奥奥和赛赛两人轮流从 1-17 这 17 个整数中报数，报数规则为：不能报双方选过的数；不能报已选数的 2 倍的数；也不能报已选数一半的数。谁没有数可报时谁就输。现在奥奥先报了 8 ，赛赛要保证自己必胜，赛赛接下来应该报的数是什么?

题目来源：

第十五届 WMO 世界奥林匹克数学竞赛中国区总决赛（五年级）

本题难度：

较难（☆☆☆）

问题解析：

首先奥奥先报了 8 ，那么接下来赛赛能报哪些数呢？如下图所示。



按照报数规则，8 不能再报了，16 和 4 也不能再报了，因此可报的数为

1、2、3、5、6、7、9、10、11、12、13、14、15、17

仔细观察这些数字你会发现什么呢？

按照报数规则，如果赛赛选取一个数字，那么该数的 2 倍，该数字的一半，以及该数字本身都不能再报了。比如赛赛选择了 5 ，那么 5 和 10 就都不能再报了。

但是也存在例外，比如如果选择了 15 ，因为 15 的 2 倍已超出 1~17 的范围，而 15 的一半又不是整数，所以如果赛赛选择了 15 ，那么就只有 15 这一个数字不能再报。

我们分别归纳一下剩下的这些数中满足以上两种特征的数字都有哪些。

1、选取一个数字，仅该数本身不能再报的数字

9、11、13、15、17

2、选取一个数字，存在其他数字也不能再报的情况

（1 、2）（3、 6）（5 、10）（6、 12）（7 、14）

如果选取了括号中的任何一个数字，则另一个数字也不能再报了。

那么接下来赛赛要怎样选数才能保证获胜呢？因为是轮流报数，无数可报的人输，所以只要确保赛赛能选取到最后一个数字，则赛赛获胜。

当选择 9、11、13、15、17 这几个数字时，只能“消掉该数本身”，而选取 1、 2、3、6、5、10、12、7、14 这几个数时，与之成对的数会一同被“消掉”。

要想让赛赛选到最后一个数字，就必须保证总共有奇数个（对）数字，这样轮流选数，最终赛赛一定选到最后一个数字。然而现在剩下的单独的数字和成对的数字共有 10 个（对），即 9、11、13、15、17、（1 、2）（3、 6）（5 、10）（6、 12）（7 、14），那该怎么办呢？

不难发现，如果赛赛选择 6 ，因为 6 在（3、6）和（6 、12）中同时存在，所以（3、 6）和（6、 12）这两对会被同时被消掉；而报其他数时，最多可消掉一个数字（或一对数字）。所以只要赛赛下一个数字报 6 ，则后面必然还剩下偶数个（对）数字，这样后面无论怎样报数，最终都会形成类似下图所示的报数序列：



当然除第一个数字必须是 6 外，其他的报数顺序可任意改变或不同，例如，



但无论怎样变，只要赛赛下一次报数 6 ，最终赛赛都是最后一个报数者，也就是说奥奥最终无数可报。

所以只要赛赛下一次报 6 ，就必然获胜。

小猿科普