求 (x^2+1)√[(3x^2+2)(2x^2+3)]／[(4x^2+3)(3x^2+4)] 的最小值

波斯猫猫

求 (x^2+1)√[(3x^2+2)(2x^2+3)]／[(4x^2+3)(3x^2+4)]的最小值.
(网上说是湖北高三模拟题，经过了三次换元方得其解)

波斯猫猫

思路： (x^2+1)√[(3x^2+2)(2x^2+3)]／[(4x^2+3)(3x^2+4)]

= (k+1)√(6k^2+13k+6)／(12k^2+25k+12)  (k=x^2)

=(√k+1/√k)√[6(k+1/k)+13)]／[12(k+1/k)+25]

=t√(6t^2+1)/(12t^2+1)    (t=√k+1/√k≥2)

=√[(6t^4+t^2)/(12t^2+1)^2]

=1/√[24+1/(6t^4+t^2)]≥1/√(24+1/100)=10/49.

(仅当t=2，或k=1，即x=±1时取等号. 少了一次换元)

luyuanhong

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手机百度：湖北高三数学模拟题视频，求分式的最小值。
可见：令t=1+x^2→m=1/t-1/t^2→n=√(m+6)，最终
求出分式函数的值域，而通过单调性间接得出结果.