华裔本科女生的非常规操作，让停滞几十年的牛顿遗留问题迎来新突破

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华裔本科女生的非常规操作，让停滞几十年的牛顿遗留问题迎来新突破

吻接数问题不仅具有很高的数学难度，还在通信、人工智能和物理学等领域有广泛应用价值。

撰文 | Denovo

1694 年 5 月，时任剑桥大学卢卡斯数学教授的牛顿（Isaac Newton），与苏格兰天文学家兼数学家大卫·格雷戈里（David Gregory）会面。据后世记载，他们曾讨论过一个看似“天文学”却又深具几何意味的 3 维问题：如果把太阳看作一个“中心球”，那么在三维空间中，围绕它最多可以放置多少个大小相同的“行星球”而使它们都与中心球仅在一个点上接触（即相切），又彼此不发生重叠？这段对话的真伪虽仍存争议，却由此引出了一个延续数百年的数学难题——“吻接数问题”（Kissing Number Problem）。


牛顿与格雷戈里进行讨论引出了“吻接数问题”丨图片来源：作者 AI 生成

2024 年 11 月 7 日，现在斯坦福读博士的华裔女生 Li Anqi 与她在麻省理工学院读本科时的导师亨利·科恩（Henry Cohn）于 arXiv 发布一篇论文，显示他们在这一问题上有了新的突破：他们提出了全新的几何构造，使球体在 17 至 21 维空间中能够以更加紧凑的方式彼此“接触”。待完全通过论文出版流程后，这一结果可谓是自 20 世纪 60 年代以来，数学界在这些维度区间内的首次重要突破。


发布于 arXiv 的论文

三维“吻接数问题”是怎么解决的？

让我们先回到数个世纪前的讨论上。在三维空间里，可以很容易在中心球周围放置 12 个球，使得每个球都跟中心球相切。然而，这种排布在球与球之间还留有空隙。是否存在第 13 个球能够塞进多出来的空间中？格雷戈里认为可以，牛顿则坚持 12 已是极限。


三维空间的吻接数为 12丨图片来源：Quantamagazine

1952 年，数学家许特（Kurt Schütte）和范德瓦尔登（Bartel Leendert van der Waerden）运用了一种巧妙的“降维”思路，将三维问题转化为球面上的几何问题，从而为牛顿与格雷戈里跨越两个多世纪的争论画下句号——牛顿是对的，三维空间中可围绕中心球紧密排布的最大球数是 12 。

考虑中心球周围要放置 N 个接触球，每个接触球都必须与中心球相切，并且不能相互重叠。所以证明目标就是：N=12 是可行的，并且 N=13 会导致至少两个接触球发生重叠，从而不可能实现。



具体来说，他们先将中心球与外围球的球心“投影”到单位球面上：把外围球的球心与中心球的球心连线，并将该连线延伸至与单位球面相交。由于外围球都与中心球相切，被投影到球面上的点彼此之间必须保持一定的最小夹角，以免对应的外围球产生重叠。

接着，他们在球面上为每个投影点划定一个不互相重叠的球冠，并发现：如果试图放置超过 12 个点，这些球冠的总面积就会超过球面可提供的总面积，从而形成逻辑上的矛盾。这也就证明了，三维空间的吻接数是 12 。

那其他维度的“吻接数问题”呢？

吻接数问题同样适用于任意维度的球。在一维空间，一条直线上中心球两侧可以各接触 1 个球，共吻接 2 个球。在二维空间里，情况同样一目了然：在桌上放一枚硬币，周围最多可围上 6 枚紧贴它的硬币，宛如一朵雏菊盛开。那么，若维度继续提升，情况又会如何呢？


二维空间的吻接数为 6丨图片来源：Quantamagazine

在数学中，维度表示描述空间所需的独立方向数。例如，一维空间是一条直线，只有长度；二维空间是一个平面，具有长和宽，比如纸张上的图形；三维空间则是我们日常生活中的立体空间，包括长、宽、高。四维及更高维度则属于数学中的抽象概念，每增加一个维度，就意味着多了一个独立的方向。

举个生活中的例子：假设你每天记录体重、身高、血压、睡眠时长 4 个数据，你的健康状态就可以看作一个四维空间中的点，你的健康状态可以看作四维空间中的一个点，每个指标对应一个维度。“球”则代表所有满足某种条件（如健康评分范围）的数据集合。

随着维度的升高，吻接数问题会变得更加复杂。这是因为每增加一个维度，球体的接触点排列方式都会呈指数级增长。在三维空间中，最多只能有 12 个球围绕中心球紧密贴合，而在 24 维空间，这一数目则暴增至近 20 万个，它们以超对称晶格的方式排列，犹如一张极为精密的编织网。而在 24 维中验证这近二十万个点是否重叠，涉及了 1933 亿次计算。

此外，高维空间中的球体几何性质与低维空间大相径庭，常常颠覆我们的直觉。例如，在 100 维空间中，一个边长为 1 的超立方体（即 100 维正方体）的对角线长度约为 10 ，而在二维情况下，它仅为 √2 。这一现象表明，高维球体之间的“安全距离”需要更复杂的计算，传统排列方式可能不再合适，数学家需借助抽象代数、信息论甚至物理中的弦理论工具。

高维度的“吻接数问题”现况如何？

为了解决在高维度的吻接数问题，数学家们各显神通。

2008 年，奥列格·穆辛（Oleg Musin）基于德尔萨特（Delsarte）线性规划技术，通过分析球体排列的对称性，并结合球面调和分析，严格证明了四维空间的吻接数为 24 。

在 8 维空间中，人们长期认为 E8 格是最优的球体密堆积方式，但一直缺乏严格的数学证明。线性规划方法只能给出上界（≤240），而不能直接证明 E8 晶格可以达到 240 。2016 年，乌克兰数学家玛丽娜·维亚佐夫斯卡（Maryna Viazovska）通过构造一种特殊的傅里叶变换插值函数，在 E8 晶格的 240 个接触点上，这个函数给出了最优的距离信息，在所有其他点上，它的傅里叶变换也保证不会允许更多的球进入。因此，8 维空间的吻接数为 240 。


因成功解决 8 维的吻接数问题，维亚佐夫斯卡于 2022 年荣获数学界最高荣誉——菲尔兹奖，成为历史上第二位获得该奖项的女性丨图片来源：EPFL

随后在 2017 年，维亚佐夫斯卡与亨利·科恩等合作者，采用与 8 维空间相似的傅里叶分析方法，进一步证明了利奇（Leech）格是 24 维空间中最密的球体堆积结构，吻接数达 196560 。

这些方法高度依赖于对称性，因此，在某些对称性较弱的维度（如 5、6、7 维等），计算最大吻接数变得极其困难。目前，四维（24）、八维（240）和二十四维（196560）是仅有的三个已被严格证明的高维吻接数。

因此，2022 年春季，当时还在麻省理工学院读数学本科的 Li Anqi 在老师亨利·科恩给了她这个题目后，创造性地选择了放弃对称性，“离经叛道”地去选择了一些“怪异的结构”，通过翻转坐标符号（奇偶性调整），构造出非对称的球体排布，在 17～21 维中发现了新的空隙。多个近期结果都支持这些不太容易获得的结构的前景。在过去两年里，数学家们通过扭曲或者打破常规的对称性规则，得出了 5、10 和 11 维中巧妙的新构造。数学家们逐渐发现，在某些高维空间中，非对称结构可能比传统的对称晶格更优。


Li Anqi 个人主页上的自我介绍

不过，这离彻底解决这个问题还有很远的距离。亨利·科恩说：“也许我们离真相还很远，因为它并没有一种直观易懂的描述。”

彻底解决“吻接数问题”有何意义？

那么，彻底解决这个问题究竟有什么意义呢？

彻底解决吻接数问题不仅是数学上的一项重要挑战，还在通信、人工智能和物理学等领域具有广泛应用。

在数学上，它涉及高维几何、优化理论、数论和代数几何，推动高维空间优化与编码理论的发展。在无线通信和量子通信中，数据点的高维排列影响信号传输效率，例如：格雷码在 24 维空间的最优排列与与利奇格吻合，曾应用于 NASA 的旅行者 1 号；而 5G 和量子加密中的超立方体码也依赖高维结构优化。此外，在机器学习中，高维数据分析需要优化聚类和距离度量，而吻接数问题的研究有助于提升大规模数据处理和模式识别的准确性。在物理学领域，弦理论认为宇宙可能存在 10 维或 11 维，高维几何为统一相对论与量子力学提供了重要的数学框架。

因此，彻底解决吻接数问题不仅回答了经典数学难题，也将推动多个科学领域的发展。

参考文献

[1] Mathematicians Discover New Way for Spheres to ‘Kiss’, Quantamagazine. https://www.quantamagazine.org/m ... s-to-kiss-20250115/

[2] Schütte K, van der Waerden B. L. Das Problem der dreizehn Kugeln[J]. Mathematische Annalen, 1952, 125(1): 325-334.

[3] Musin O R. The kissing number in four dimensions[J]. Annals of Mathematics, 2008: 1-32.

[4] Viazovska M S. The sphere packing problem in dimension 8[J]. Annals of mathematics, 2017: 991-1015.

[5] Cohn H, Kumar A, Miller S, et al. The sphere packing problem in dimension 24[J]. Annals of Mathematics, 2017, 185(3): 1017-1033.

原创  Denovo  返朴  2025 年 05 月 03 日 08:23  北京

Nicolas2050

论文地址：https://www.arxiv.org/pdf/2411.04916