数学符号背后的故事：一篇文章带你了解人类最精确语言系统的起源与现代应用

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数学符号背后的故事：一篇文章带你了解人类最精确语言系统的起源与现代应用

原创  遇见数学  遇见数学  2025 年 05 月 06 日 20:03  河南

数学符号通过特定符号来表示运算、未确定的数、各种关系以及其他数学对象将其组合成表达式和公式。

这套符号系统使我们能够以简洁、明确且准确的方式表达复杂的概念和性质，就像是一种专为精准思考设计的语言。

数学符号的价值远超数学领域，它在科学、工程甚至经济学等领域都扮演着不可替代的角色。通过数学符号，我们能够把抽象的思想转化为可以操作的形式，进行推理和计算。



例如，物理学家阿尔伯特·爱因斯坦的公式  E=mc^2 就是质能等价关系的数学表示——简洁地表达了质量与能量之间深刻的等价关系。

数学符号是经过漫长的历史发展逐步完善的。16 世纪末，弗朗索瓦·韦达首次系统地用字母表示未知数，奠定了代数符号的雏形，并在 17、18 世纪由勒内·笛卡尔（René Descartes）、艾萨克·牛顿（Isaac Newton）、戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz）以及尤其是莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）大幅扩展和完善。

正是这些数学巨匠们的贡献，才形成了我们今天使用的大部分数学符号体系，使得数学表达变得更加系统化和规范化。

符号与字体：数学的文字系统

符号的多样性与作用

数学符号就像是数学语言中的词汇，它们共同构成了一个丰富而精确的表达系统。在这个系统中，不同的符号扮演着不同的角色，有些表示数学对象（如变量、常数），有些表示运算（如加减乘除），有些表示关系（如等于、大于），这与自然语言中的名词、动词、形容词有着相似的功能区分。

字母作为符号



其他符号

除了用字母表示对象外，数学还需要表示各种运算和关系。例如：



这些符号有些源自传统排版符号，有些是字母的变形，还有很多是专门为数学创造的，它们共同构成了数学的表达工具箱。

国际标准数学符号

为了保证数学符号在全球范围内的一致性，国际标准化组织（ISO）制定了相关标准。ISO 80000-2（之前为 ISO 31-11）规定了数学方程中符号的使用规范。

这些标准不仅仅是形式上的约定，它们对数学沟通的准确性至关重要。例如，标准要求在表示变量时使用斜体（如等式  E=mc^2 中的  E、m 和 c ），而表示数学常数时则使用罗马（直立）字体（如自然对数的底 e 或圆周率 π ）。这种细微的区别帮助读者区分变量和固定值，减少了歧义。

表达式和公式

在数学语言中，表达式和公式是两个核心概念，它们与自然语言中的名词短语和句子有着相似的关系。

表达式是按照数学语法规则组合起来的符号序列，它代表一个数学对象（如数、向量或函数）。例如  8x-5 是一个代表特定数值的表达式，具体数值取决于变量 x 的值。

公式则是关于数学对象的陈述，通常包含等号或不等号等关系符号。比如不等式 8x-5＞3 是一个公式，它表达了一个可以判断真假的命题。

当我们处理表达式时，常见的操作是求值或简化。求值意味着找到表达式的具体数值，而简化则是将表达式转换为等价但形式更简单的表达式。例如，表达式 8×2-5 可以简化为 16-5，最终求值得 11 。这个过程类似于语言中的语义解析，我们通过一系列规则得出表达式的"含义"。

数学符号的历史演变

数字的起源



人类表示数量的历史可以追溯到至少 5 万年前。早期人类通过手指计数、石头、木棍、骨头、结绳等物理方式记录数量。著名的历史例证包括非洲的伊尚戈骨和安第斯地区的绳结计数系统（Quipu），这些都是早期数学符号的雏形。

零的概念及符号的引入是数学史上的重大突破，它比零作为数字的概念早了几个世纪。最初，它在巴比伦和埃及被用作占位符，后来在玛雅、印度和阿拉伯数学中发展成为完整的数字概念。这一发展对数学和科学的进步产生了深远影响。

现代符号体系的形成

在 16 世纪之前，数学表达主要依靠文字描述，即使是复杂的数学关系也需要用冗长的文字来表达。丢番图等少数数学家虽然尝试使用简写符号，但没有形成系统的符号体系。



真正的变革始于 16 世纪末，由法国数学家弗朗索瓦·韦达开创了代数符号的系统使用，特别是引入了字母表示未知数。随后，17 世纪的勒内·笛卡尔奠定了现代数学符号的基础，他引入了使用  x,y,z 表示未知数，a,b,c 表示已知数（常数）的惯例，这一做法一直沿用至今。他还引入了虚数单位 i 及"虚数"（imaginary）这一术语。

18 和 19 世纪见证了数学符号的标准化过程。莱昂哈德·欧拉作出了卓越贡献，他创造或推广了众多现代数学符号，包括函数符号 f(x) 、自然对数的底 e 、求和符号 ∑ 等。他还普及了威廉·琼斯提出的使用 π 表示圆周率的做法。

此后，随着数学分支的不断发展，许多新符号被引入，有些以其发明者命名，如莱布尼茨的微积分符号、勒让德符号、爱因斯坦求和约定等，丰富了数学的表达能力。

数学排版的艺术

数学表达的二维结构特性使得普通排版系统难以胜任数学内容的呈现。例如，下面这个表达式涉及多层嵌套结构：



为解决这一难题，高德纳（Donald Knuth）于 1978 年创建了 TeX 排版系统，特别适合处理复杂的数学表达式。通过其扩展 LaTeX ，它已成为数学和科学出版的事实标准。上面展示的复杂表达式就是用 LaTeX 代码编写的。



近年来，为了适应网络环境，MathML 提供了另一种数学排版方案，但其在网页浏览器中的支持仍有限制，尚未完全普及。

非拉丁语系数学符号

现代阿拉伯数学符号主要基于阿拉伯字母，在阿拉伯世界广泛使用，尤其是在高等教育前阶段。

【遇见数学】：阿拉伯国家，尤其是在大学之前，数学并不总是使用我们习惯的西方数学符号系统（如 x ,y , α , ∑ 等），而是用建立在阿拉伯语文字系统之上的数学符号体系。

除了阿拉伯符号，数学还使用希腊字母来表示各种各样的数学对象和变量。在某些情况下，也使用一些希伯来字母（如在无限基数的上下文中）。

一些数学符号主要是图示性的，因此几乎完全独立于文字。例如潘洛斯图形符号和科克斯特-邓肯图。

【遇见数学】：潘洛斯图形符号（Penrose graphical notation）：用于量子物理和张量网络的可视化。它用图形表示张量及其收缩过程，简化了繁复的代数表达。 科克斯特-邓肯图（Coxeter–Dynkin diagrams）：用于表示对称群、李代数、晶体结构等，是抽象代数和几何中的“结构图谱”。

盲人使用的基于盲文的数学符号包括 Nemeth 盲文和 GS8 盲文。

数学符号软件


▲ 突出显示的 LaTeX 数学符号

随着计算机技术的发展，多种工具被开发用于处理和展示数学符号：

● TeX/LaTeX：最强大的数学排版系统，被学术界广泛采用

● MathJax：用于在网页上显示数学公式的 JavaScript 库

● KaTeX：一个快速的数学排版库，适用于网页

● MathML：用于在网页上描述数学符号的 XML 标记语言

● AsciiMath：一种简化的数学符号输入系统

● LibreOffice Math：开源办公软件中的公式编辑器

● GNU TeXmacs：科学文档的所见即所得编辑器

原内容及图片源自维基百科，遵循 CC BY-SA 4.0 协议。

原文： en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_notation

翻译：【遇见数学】译制，并补充部分内容/图片

波斯猫猫

数学语言由通常用语（文字），符号和图形三种“语言”组成，这三种语言常常
交替而灵活地使用，使得数学语言丰富多彩，且易于表达深邃的数学思想和意图.
符号语言需进一步完善，如二面角通常表示为：二面角α-l-β . 应更简洁的表示
为：∠（α-l-β）.