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本帖最后由 波斯猫猫 于 2025-5-9 01:47 编辑
题:已知实数 x,y 满足 x^2+xy+y^2=1 ,求 x^2-3xy-2y^2 的最大值.
思路:令x^2-3xy-2y^2=t-3,则x^2-3(1-x^2-y^2)-2y^2=t-3,
即4x^2+y^2=t ( t>0). 令2x=√tcosθ, y=√tsinθ ,
代入x^2+xy+y^2=1得,(√tcosθ)^2+2√tcosθ√tsinθ+4(√tsinθ)^2=4,
即3t(sinθ)^2+tsin2θ=4-t ,或sin(2θ-φ)=(8-5t)/(√13t) ,
或-1≤(8-5t)/(√13t)≤1. 解得8/(5+√13)≤t≤8/(5-√13),故t-3≤(1+2√13)/3 . |
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