AB=2，BC=1，CA=√3，D∈AB，E∈BC，F∈CA，ΔDEF 为正三角形，使 ΔDEF 的周长最短

wintex

請問數學

天山草

用复斜率几何解答如下：


周长最短时的图如下：
此时 \(λ=\frac{BE}{BC}=\frac{4}{7}，\frac{FC}{EC}=\frac{2}{\sqrt{3}}\)

波斯猫猫

题：如图，在ΔABC中，AB=2，BC=1，CA=√3，D∈AB，E∈BC，F∈CA，
ΔDEF 为正三角形，θ为何时，使 ΔDEF 的周长最短.

思路：由条件易有图中各数据，在ΔBDE中，λ/sin60°=(1-λcosθ)/sinθ，

∴ sin60°/λ=sinθ+sin60°cosθ=√7sin(θ+φ)/2，其中，tanφ=√3/2(φ为锐角)，

显然，仅当θ+φ=90°，即θ=90°-φ，或θ=arctan2/√3时，最短周长3λ=3√21/7.

天山草

借用波斯猫猫的图，稍改一下论述方法：

shuxueren

http://www.mathchina.com/bbs/for ... ;extra=&page=13

luyuanhong

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