被遗忘的天才：阿尔冈与代数学基本定理的复数之路

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被遗忘的天才：阿尔冈与代数学基本定理的复数之路

原创  围城里的猫  MathSpark  2025 年 05 月 10 日 17:30  陕西

代数学基本定理指出：每一个非常数的复系数多项式在复平面上至少有一个根。对于复系数的一元二次多项式，求根公式总能给出两个根，因为每个复数都有两个平方根。类似地，三次和四次多项式也有求根公式，但对于五次及以上的一般多项式则不存在通用的求根公式。



这一定理有着悠久的历史，可以追溯到欧拉甚至更早。达朗贝尔（d'Alembert）曾在 1748 年尝试给出一个证明，高斯（Gauss）通常被认为是在 1799 年首次给出该定理证明的人，但他的证明并不完整。阿尔冈（Argand）在 1806 年以匿名自出版的小册子中，给出了一个简单而直接的证明。他在其中展示了如何几何地表示复数，并探讨了复数的加法、乘法、除法、开方和绝对值。


阿尔冈在《试论》（*Essai*, 1806）中对复数乘法在阿尔冈图上的表示进行了探讨。

该定理在复数发展的历史中起到了关键作用，因为它与多项式方程的求解紧密相关，而这正是自十六世纪以来数学家们极为关注的问题。Reinhold Remmert 如此评价道：

代数学基本定理在复数理论的历史中具有非凡的重要性，因为正是可以在复数域中证明这个定理的可能性，比其他任何因素都更为重要，为复数的一般承认铺平了道路。

阿尔冈的证明同样是不完整的，只是缺少了一个事实的验证：复系数多项式在复平面上模值具有绝对最小值（他将其视为公理）。他在 1815 年的一篇文章中扩展了 1806 年提出的骨架式证明，题为《对新虚数理论的反思，及其在分析定理证明中的应用》（Reflexions sur la nouvelle théorie des imaginaires, suivies d'une application à la démonstration d'un théorème d'analyse）。

我们在这篇文章中整理了他在该文中对代数学基本定理的证明 。

复数的几何表示

让·罗贝尔·阿尔冈（Jean Robert Argand）是数学史上一位杰出的业余数学家，但关于他本人的资料却并不多。他是最早展示如何将复数表示为平面上点的人之一，他在 1806 年所作的阐述正确且彻底 —— 这份工作即使今天重写，几乎也无需改动，足以证明他当时观点的正确性。

阿尔冈以代数学基本定理的简单证明作为其方法有效性的证据，认为虽然也有其他证明方式，但几何方法更为简洁直观。柯西（Cauchy）指出，故意将阿尔冈的证明包装得复杂，只会掩盖其背后的基本原理。

阿尔冈写道：平面上的“有向线段”可以用来表示复数，其中 √-1 由从原点  (0,0) 到 (0,1) 的竖直线段表示，而其他复数则表示为从原点指向平面中某点的有向线段（正如我们今天熟悉的方式）。

他没有使用 i 表示虚数单位，也提醒人们不要过度解读“虚数”一词的含义。他的整个工作都是在为复数赋予一致、具体的含义。他提出了复数加法的平行四边形法则，并解释了：单位圆上的复数相乘时，其角度相加；而不在单位圆上的复数，则还要加上一个缩放因子。

他还给出了熟悉的取负、除法、开方和求绝对值的规则。

证明的提纲



阿尔冈不等式



吸引域与朱利亚集合



从阿尔冈到分形



阿尔冈的遗产

阿尔冈在 1806 年发表的文章是匿名自费出版的。关于他的资料非常稀少，甚至连 “阿尔冈” 是否为真名还是笔名都不得而知。

目前我所见最详尽的阿尔冈资料来自圣安德鲁斯大学的记载，该文指出：历史记录中提到的让-罗贝尔·阿尔冈（Jean-Robert Argand），十分默默无闻，可能并不是我们所熟知的那位数学家。



主流数学家忽视（或者假装忽视）阿尔冈已长达五十年之久，尽管他们在系统地将他的思想融入数学实践的结构中。

柯西在 1820 年发表的文章 "Sur les racines imaginaires des équations" 紧随阿尔冈的证明思路，尽管手法笨拙，仅限于实系数多项式， 并引入实变量 h 和 k ，将阿尔冈优雅的几何方法转换为一个更传统的三角学问题。

相比之下，柯西 1821 年在其著名教科书 Cours d'analyse 中呈现的内容，则更为冗长且令人沮丧。

柯西提到勒让德为灵感来源，但我更倾向于认为他其实是在传播阿尔冈的思想，而不是像他在 Théorie des nombres 中声称的那样，自己在独立研究求根问题。

高斯的情况尤其奇特。他在一生中（从 1799 年的博士论文开始）多次证明代数学基本定理，但没有一次比阿尔冈的更简洁或优雅，甚至还有些证明同样不完整。

直到 1831 年，高斯才完全接受用复平面表示复数值，不过这次是在一个数论的技术分支——双二次剩余的背景下。

高斯意识到：将复数限制为整系数时，划分平面为 1×1 的小方格会使结果更显著，这个系统后来被称为高斯整数。

他在 1831 年的报告中明确指出，有必要将整数系统扩展到复数（即现在的高斯整数）系统，包括：

“如果过去人们是从错误的视角来思考这个问题，因此发现了一种神秘的黑暗，那么其中很大一部分应归因于笨拙的术语。”

然而他却没有提及使用复平面来表示所有复数、进行乘法与开方等运算，而这些早在二十五年前就被阿尔冈全面解决了。

他声称自己早在 1799 年就有类似思路，但却完全忽略了阿尔冈。他写到将 i=√-1 理解为 1 和 -1 之间的几何平均值，这正是阿尔冈在 1806 年所提出的思想，而他连阿尔冈的名字都没提。

在阿尔冈图（现今的称法）之前，√-1 一直被笼罩在神秘与混乱之中。复数曾被称为“荒谬”和“不可能”，即使它们被使用，“虚数”这一术语也暗示着它们几乎没有合法性。

这就像当年人们对负数的抵触一样 —— 那么 √-1 又可能意味着什么，当每个人都认定平方结果必须是正数时？但复数却能给出结果，而且是一致的！

16 世纪的意大利代数学家曾使用复数来得出实数根。阿尔冈一劳永逸地消除了这种不安感，提供了一个一致、直观、具体的复数模型，并极大地推动了新的数学成果的产生。

其实最早以几何方式表示复数的并非阿尔冈，而是 Caspar Wessel ，他于 1799 年用丹麦文发表了完整的几何表示法。但 Wessel 的论文被埋没，直到 1895 年才被重新发现。

Wessel 也是一位业余数学家，同时是测量员，也是一位出色的演讲者。从后见之明的角度来看，这些杰出的“业余者”能看清数学的本质，反而凸显出当时主流数学圈的保守态度，尤其是柯西 —— 复分析奠基人之一 —— 长期未能接受这种新方法。

阿尔冈的声誉在 19 世纪逐渐确立。J. Hoüel 于 1874 年重印了他的原始论文，A. S. Hardy 于 1881 年出版了英文译本 Imaginary Quantities : Their Geometrical Interpretation 。这两本书都包含了评论与注释，确立了阿尔冈的优先权和贡献。

George Chrystal 在他著名的 Algebra , an Elementary Text-Book（第5版，1904）中致敬阿尔冈，他在书中严格使用阿尔冈的方法证明了基本定理，并称阿尔冈的证明“既巧妙又深刻”（第 248 页）。

数学中的“符号极其重要”早已被广泛接受。但在这里，我们不只是引入了一套符号，而是打开了一个全新的数学世界。

阿尔冈对代数学基本定理的证明，不仅确立了命题本身，更重要的是，展示了这种新方法的力量，正如他所宣称的那样。

围城里的猫