三维版勾股定理，竟然绕不开海伦公式？不妨看看这期的解法！

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三维版勾股定理，竟然绕不开海伦公式？不妨看看这期的解法！

原创  围城里的猫  MathSpark  2025 年 04 月 14 日 17:30  陕西



德瓜定理的一个初等几何证明

在上一期的推送中，我们对海伦公式提出了一个漂亮的三维几何证明。有所忘记的读者可以点击下面的链接：

《对称的公式，不对称的证明？这让数学家不爽了很久》

该证明需要借助德瓜定理（De Gua's Theorem）。

德瓜定理指出：对于一个四面体 OABC ，如果它在顶点 O 处形成直角（即三个面两两垂直），那么与该直角对面的三角形面积的平方，等于其余三个面的面积平方之和。


图 1



但我必须要说的是德瓜定理通常是依赖于海伦公式来证明的，但这似乎会导致一种不必要的循环论证。

不过别担心，这期推送我们就要解决这个问题，不借助海伦公式来证明德瓜定理，从而避免循环论证。


图 2



高等意义下的德瓜定理

我们的方法并不是避免循环论证的唯一方法，还有很多处理手段，事实上关于德瓜定理我们有一个更一般性的结论。该结论由 P. S. Donchian 和 H. S. M. Coxeter 于1935 年提出。而这两位提出的结论又是 Donald R. Conant 与  William A. Beyer 在 1974 提出的一个更一般定理的特例。嗯，数学家就是喜欢搞这种套娃。




图 3

德瓜定理小历史

让-保罗·德瓜·德·马尔夫（Jean Paul de Gua de Malves，1713–1785）于 1783 年发表了这个定理，但大约在同一时期，另一位法国数学家查尔斯·德·坦索·达蒙当（Charles de Tinseau d'Amondans，1746–1818）也发表了一个更一般的版本。

然而，这一定理在更早之前就已经被约翰·福尔哈贝尔（Johann Faulhaber，1580–1635）和勒内·笛卡尔（René Descartes，1596–1650）所知。



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