勾股定理居然如此有趣！

luyuanhong

勾股定理居然如此有趣！

原创  韦达本达  韦达本达的数学花园  2025 年 05 月 14 日 19:56  广东

前言：自从上初中以来，我们最熟悉的定理可能就是勾股定理了。然而，你真的知道勾股定理的几个经典证明方式和推广延伸吗？今天，就和韦达一起，探索勾股定理的奥妙吧！

睿哥最近好像在研究什么东西，十分入迷，常常废寝忘食，连羽毛球都很少打（要知道，这可是他最喜欢的球类运动了）。韦达于是就走进了他的房间，发现他正在草稿纸上涂涂写写，画了很多直角三角形。问了之后才知道他正在尝试发现一种新的证明勾股定理的方法。

韦达见状刚忙阻止他继续“研究”了，理由是能发现一种新的证明方法已经不太可能了，如果继续研究将只会白费功夫。

为了防止各位也像睿哥一样盲目研究证明方法，这里为大家提供三种非常出名的证明方法，它们涵盖了市面上几乎所有证明方法的基本思路——面积法与全等（主要用于说明四个三角形面积相等）。

方法一：弦图；创始人：赵爽（因此本方法又称赵爽弦图）



将大正方形的面积分别使用两种表达方式写出来：分别是 S = c^2 与 S = (b-a)^2+4×ab/2 。

其中第二个表达方式就是将大正方形的面积分为小正方形与四个三角形。

经过化简，c^2 = S = b^2-2ab+a^2+2ab = b^2+a^2 ，得证。

方法二：类似割补；创始人：据说是毕达哥拉斯（因此本定理在国外很多书上又叫毕达哥拉斯定理）



大正方形的面积此时可以表述为 S = (a+b)^2 或者 S = c^2+2ab ，整理后得到 b^2+a^2 = c^2 ，得证。

观察仔细的读者肯定可以发现上述两种证法原理类似，都是将面积通过不同方法表示出来的。

方法三：总统法；创始人：美国前总统加菲尔德



其实本质上就是弦图劈了一半，在此不多赘述，读者们可以自行尝试。（注：用梯形面积公式会更快哦！）

好了，以上就是三种常见的证明方法。目前，勾股定理已经有数百种各式各样的证明方法了，因此很难在找出来一个新的，劝各位不要盲目尝试！

说完了勾股定理，我们来看一下这个定理的拓展延伸，也就是大名鼎鼎的余弦定理。在证明过程中，我们不仅会使用勾股定理，还会运用一些基础的三角函数知识，一起来看看吧！



如上图，我们设 AC = b ，AB = c ，BC = a ，那么由三角函数定义得到 AD = bsinC ，CD = bcosC ，,那么 BD = a-bcosC 。接下来，在三角形 ADB 中使用勾股定理得到 (bsinC)^2+(a-bcosC)^2 = c^2 ，经过化简得到 c^2 = a^2+b^2-2abcosC 。当 C 为钝角时同理，有兴趣的读者们可以自行尝试。

然而，余弦定理只是一个简单的拓展罢了。当“业余数学之王”费马读到勾股定理时，他在书边写到“对于任意的大于等于 3 的正整数 n ，方程 x^n+y^n = z^n 必定没有正整数解”。不仅如此，他还在扉页上写到“我想到了一个真正美妙的证法，可惜这里位置太小了，写不下”。

可以看出，这个高次方程的形式和勾股定理出奇的相似，这也许就是大神们的脑回路吧。然而，虽然形式简单，描述也不复杂，小学生都知道它在说什么，这个定理的最终证明是在它被提出 300 多年后才被数学家怀尔斯证明完成。因此，也有很多人认为当年费马并没有想出来一个“真正美妙”的证明，因为怀尔斯的证明方式使用了许多在费马那个年代从未出现过的方法，十分复杂，一点儿也谈不上美妙。

然而，这个问题是一个巨大的谜团，没有人真正知道费马巧妙的证明是什么。或许他只是在戏弄我们？

韦达本达的数学花园