经典奥数问题 —— 有多少张幸运券？

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经典奥数问题 —— 有多少张幸运券？

原创  小猿科普  小猿科普  2025 年 05 月 21 日 07:15  北京

迎新年，商场向顾客发出 9999 张购物券，每张购物券上印有一个四位数的号码，从 0001 到 9999 号，如果号码的前两位数字之和等于后两位数字之和，则称这张购物券为幸运券。例如号码 0826 ，因 0+8=2+6 ，所以是幸运券。那么，共有多少张幸运券?

题目来源：

2024 年“希望杯”全国数学邀请赛

本题难度：

较难（☆☆☆）

问题解析：

我们可以将购物券的编号拆分为前两位和后两位两部分。前两位的数字范围是从 00-99 ，后两位的数字范围是从 01-99 。那么本题其实就是要计算“有多少种组合满足前两位数字之和等于后两位数字之和”。

不难想象，无论是前两位的数字还是后两位的数字，它们之和的范围一定在 1-18 之内。这很容易理解，因为这两位数字之和的最小值为 1（ 0+1 或 1+0 ），最大值为 18（ 9+9 ），所以这两位数字之和的范围控制在 1-18 之间。

于是该问题就转化为：计算前两位之和与后两位之和同时等于 1 ，2 ，…… 18 时，共有多少种组合。

举例说明，当前两位数字之和与后两位数字之和都等于 1 时，只有 0101 , 1001 , 0110 , 1010 这 4 种组合。



当前两位的和与后两位的和都等于 2 时，则有 0202 ，0220 ，0211 ，2002 ，2020 ，2011 ，1102 ，1120 ，1111 共有 9 种组合。



细心的同学可能已经看出，我们只需关注前两位的数字即可。只要知道了前两位数字之和等于某个数 s（s 在 1-18 之间）的组合数 k ，那么前两位数字之和与后两位数字之和都等于这个数 s（s 在 1-18 之间）的组合数就是 k^2 。

例如，要使前两位之和等于 2 ，共有 02 ，20 ，11 这 3 种数字的组合。那么要使前两位数字之和与后两位数字之和都等于 2 ，就是 02 ，20 ，11 这三个组合再做任意的两两组合（包括数字本身），因此共有 3^2=9 种。

现在我们来计算 1 ，2 ，…… 18 作为前两位数字之和，各有多少组合数。



不难发现，和为 1 时共有 2 种组合，和为 2 时共有 3 种组合，和为 3 时共有 4 种组合……以此类推，和为 n 就有 n+1 种组合。

但是当 n＞9 后，情况会发生变化，因为 10 无法分解为（10，0) 和（0，10），以及后面的 11 无法分解成（10，1)（1，10）（11，0）（0，11），…… ，所以从和等于 10 开始，组合数会减少。

综上所述，1，2，……18 作为前两位数字之和，其组合数分别为



那么前两位数字之和与后两位数字之和都等于这个数 s 的组合数分别是



这样我们就能计算出幸运券的张数了，它等于：2^2+3^2+4^2+…+10^2+9^2+8^2+…2^2+1=669 。

小猿科普