克莱因：上承黎曼下启希尔伯特，德国数学黄金年代的核心建构者

luyuanhong

克莱因：上承黎曼下启希尔伯特，德国数学黄金年代的核心建构者

原创  关注全球科研的  科学方程式  2025 年 05 月 26 日 15:35  北京

如果你是一位生活在 20 世纪初的数学系学生，有一所学校绝对是你心中的“梦校”——哥廷根大学（University of Gottingen）。它不在巴黎，不在牛津，而是坐落于德国的一个宁静小镇。这里的教授所著教材风靡欧洲，这里的学生日后将证明大卫·希尔伯特（David Hilbert）的问题，甚至为量子力学奠定数学基础。

哥廷根大学何以能领先于柏林大学、剑桥大学以及巴黎高等师范学院，被誉为“数学的麦加”？答案不只在数学成果，还得益于一位早年因几何学成名、最终选择当“制度设计师”的数学家：费利克斯·克莱因（Felix Klein）。

他将一所大学变成了一个系统、一种文化、一部运行精密的“数学机器”，从而将哥廷根打造成为当时全球数学研究的绝对中心，也成就了德国数学的黄金年代。


费利克斯·克莱因（1849-1925），德国数学家、教育家。他联合大卫·希尔伯特奠定了哥廷根大学长达 30 年的黄金时代。

1904 年进入哥廷根大学学习的马克斯·玻恩（Max Born）曾这样回忆克莱因：“克莱因不仅精通数学，而且精通所有自然科学。他凭借强大的人格魅力，加上英俊的外表，成为系里乃至整个大学的领军人物。随着时间的推移，克莱因越来越像宙斯，高踞于众神之上。我们称他为‘伟大的费利克斯’，他掌控着我们的命运。”


马克斯·玻恩（1882-1970），德裔英国物理学家，量子力学奠基人，获得过 1954 年的诺贝尔物理学奖。1921 年后，他回到哥廷根大学任教，他的助理和学生包括恩里科·费米、沃纳·海森堡、格哈德·赫茨伯格、沃尔夫冈·泡利、爱德华·泰勒、尤金·维格纳和罗伯特·奥本海默等。

NO.1  成长于几何裂变时代，承袭导师遗志

克莱因出生于 1849 年 4 月 25 日。提到他的生日，他都会乐于指出这个日子的特别之处：是由三个素数的平方组成，可以写作 5^2 、2^2 、43^2 。

克莱因的父母均是普鲁士人，居住在德国莱茵地区的杜塞尔多夫。父亲在政府担任高级公务员，母亲则来自布料商人家庭，属于当时典型的中产阶层。

1865 年，16 岁的克莱因就近申请了波恩大学，主修数学与自然科学。虽然波恩大学的名气远不如柏林大学与哥廷根大学，但是在这里，克莱因遇到了一位特殊的导师——尤利乌斯·普吕克（Julius Plücker），他在克莱因前期的学术道路上发挥了至关重要的作用。


尤利乌斯·普吕克（1801-1868）是波恩大学资深的物理学和数学教授，对解析几何、射影几何以及实验物理学做出了奠基性贡献。

19 世纪中叶的欧洲数学正处于一个关键转折点。在被欧几里得几何统治两千年之后，罗巴切夫斯基和黎曼提出了非欧几何体系，传统的空间结构认识被彻底撼动。几何世界忽然像被打碎的镜子——欧氏、仿射、射影、球面、双曲……它们各有逻辑，却彼此割裂。

像是听随了“时代的召唤”，普吕克在从事物理研究多年以后，于 1865 年重返几何学领域，创立了线几何（ line geometry ）。年轻的克莱因受其影响，也埋下了整合“几何秩序”的思想种子。

从第二学期开始，克莱因便担任普吕克教授的实验室助手，两人关系日渐紧密。然而，就在克莱因毕业前夕，普吕克逝世，留下了还未完稿的《空间新几何》第二卷。

出于对克莱因的信任，教授的家人委托他和哥廷根大学教授阿尔弗雷德·克莱布施（Alfred Clebsch）整理其遗稿，继续编撰。通过这项工作，克莱因深入接触到了射影几何、代数曲线、坐标不变量等概念，成为他日后提出“几何变换群”思想的起点。


阿尔弗雷德·克莱布施（1833-1872）的研究方向是代数几何和不变理论。1868 年，他受黎曼邀请加入哥廷根大学，随后不久与卡尔·诺伊曼共同创办了研究期刊《数学年鉴》。多年以后，克莱因也将成为这本重要期刊的主编。

NO.2  发布《埃尔朗根纲领》，以群论统一几何学

1869 至 1870 年，克莱因先后移居哥廷根、柏林深造。在柏林，他结识了日后将以“李群”闻名的挪威数学家索菲斯·李（Sophus Lie）。李向克莱因介绍了群的概念，并相邀一起前往巴黎研究伽罗瓦发展的群论。


索菲斯·李（1842-1899）创立了连续对称理论，并将其应用于几何和微分方程的研究。他的研究成果催生了 20 世纪数学的主要分支——李群和李代数。

受普法战争影响，克莱因仅在巴黎停留了数月就不得不离开。但这次短暂的旅程，却让他意识到几何学、对称性概念和群论之间有着密切的联系，并将在不久以后掀起一场几何革命。

1872 年，年仅 23 岁的克莱因受聘为埃尔朗根大学教授。在就职演讲中，他提出了一项惊世骇俗的纲领性主张：几何的本质，不在于研究某类图形，而在于研究特定变换群作用下的不变量。克莱因用群论这种纯代数的工具，赋予几何统一的语言和分类原则，深刻地影响了现代数学的发展。

这个演讲被后人称为“埃尔朗根纲领”（Erlangen Program），不仅为 19 世纪的几何研究提供了统一的思想框架，还将成为 20 世纪代数几何、拓扑学、李群理论等诸多领域的理论基石。

埃尔朗根纲领：

在埃尔朗根纲领之前，数学家通常从对象的角度理解几何：点、线、圆，以及它们之间的关系：距离、角度。克莱因的观点不同，他主张“几何的本质并不在于研究对象本身，而在于研究一组保持某些属性不变的变换群。”

克莱因在纲领中提出了三项根本性创新：

● 将几何定义为不变量的研究；

● 引入变换群作为几何分类工具；

● 首次将各种几何系统视为包含与被包含的变换群层次结构，使得几何研究可以转化为对群结构的研究。

这些思想不仅调和了几何的纷争，也使得几何从研究“形状”转变为研究“结构”，从此迈入了现代数学的范式。多年以后，克莱因承认这些想法并非都是他的原创，而是源自他与索菲斯·李的讨论结果。


1875 年，克莱因与德国哲学家黑格尔的孙女安妮·黑格尔结婚，婚后育有一子三女。

除了以群论统一几何学，之后十余年克莱因还活跃于函数论的研究，尤其是在椭圆模函数和自守函数领域。克莱因自认为，函数论才是他数学研究的巅峰，他最伟大的成就是对黎曼思想的发展，将其与不变量理论、数论、群论、多维几何和微分方程理论紧密结合。

差不多同一时间，初露锋芒的法国数学家庞加莱（Henri Poincaré）也开始发表自守函数论文，两人之间的学术竞争于交叉领域逐次展开。庞加莱注重形式与计算，而克莱因强调结构与几何直觉。在某些问题上，庞加莱发表成果的时间略早一步，这对克莱因造成了不小打击。


亨利·庞加莱（1854-1912）在数学界被称为“最后的通才”，因为他在数学的所有领域都表现出色。

1882 年，克莱因首次出现了严重的抑郁症状，花了两年时间才恢复过来。尽管如此，克莱因并未停止工作，他于 1880 年至 1886 年在莱比锡大学任教期间，逐渐将事业重心转向学科的建设以及教育的改革。


克莱因瓶（Klein bottle）

你听说过克莱因瓶吗？它由费利克斯·克莱因于 1882 年提出，是一个没有“内外之分”的封闭曲面，表面只有一个面、一个边界。

可以把它想象成莫比乌斯带的三维延伸：莫比乌斯带是一条只有一个面的环，而克莱因瓶则试图将瓶口与瓶底“反向”连接，形成一个无缝、无向的瓶中瓶。但要真正构造一个无自交的克莱因瓶，需要四维空间的帮助，因为在三维空间中它必然会“穿过自己”。

如今，克莱因瓶常出现在拓扑学、数学艺术和哲学中，象征边界消失、内外互换的悖论美学。它不仅是克莱因数学想象力的象征，也成为许多人初识高维空间和拓扑学的入口。

NO.3  缔造哥廷根学派，建构德国教育改革

1886 年，克莱因应邀赴哥廷根大学任教。这所位于德意志中部小镇的大学，其时在数学领域尚属二流，远不及柏林的声望。但就在克莱因到任后不久，哥廷根迅速脱胎换骨，短短二十年内崛起为欧洲乃至世界的数学重镇。在这场制度与学术的跃迁中，克莱因既是组织者，也是建构者。


哥廷根大学创建于 1734 年。建校初期，以法学、历史闻名。从 19 世纪末开始重视自然科学，尤其是数学，共培养了 47 位诺贝奖获得者。

在克莱因看来，数学的发展不仅依赖伟大的个人思想，更取决于制度、网络和传承。在普鲁士教育执行官弗里德里希·阿尔托夫（Friedrich Althoff）的支持下，克莱因于 19 世纪末发起了对哥廷根大学课程、人事、机构与研究项目的全面革新。

首先，他着手改革课程体系，将现代函数论、群论、几何基础引入教学之中。尤其重视“从结构出发理解数学”的思想，积极推动数学与物理、工程的交叉，强调数学不应脱离应用，促成了20世纪初哥廷根大学数学与物理“双引擎”腾飞的盛况。

其次，他极具前瞻性地引进了大卫·希尔伯特、赫尔曼·闵可夫斯基（Hermann Minkowski）、路德维希·普朗特（Ludwig Prandtl）、卡尔·龙格（Carl Runge）等杰出人才，逐步构建起后世所称道的“哥廷根学派”。


大卫·希尔伯特（1862-1943）是20世纪初最有影响力的数学家之一，以“23 个著名问题”闻名于世。他的成功离不开克莱因的提携。在二人的努力下，缔造了辉煌的哥廷根学派。

与此同时，克莱因还在哥廷根积极建立数学研究所，倡导公开讲座、国际合作。他利用《数学年鉴》主编的身份，与英国、法国、意大利、瑞士等地的数学家保持频繁通信。早在 20 世纪初的全球化尚未成型之际，克莱因已提前布局了一场横跨语言与国界的“学术外交”。


1908 年，在罗马举行的第四届国际数学家大会上，克莱因成为国际数学教学委员会（ICMI）的首任主席，国际声望进一步跃升。

1900 年以后，克莱因将更多精力投入教育改革。他深信中学教育是数学素养与科学精神的基础，于是组织编写德国中学数学教材，系统引入解析几何、微积分、函数等现代内容。他推动设立教师进修制度、教材评议委员会，认为数学教学应当激发学生思考，而非灌输答案。

他的改革成效卓著，不仅使德国中学数学教育水平领先世界，也影响了随后法国与英国课程改革的方向。可以说，今天我们在课堂中所熟悉的函数、极限、变换等内容，正是得益于那一轮德国教育改革。

NO.4  克莱因留给数学的真正遗产：结构·制度·远见

1913 年，克莱因因为健康原因宣告退休。1925 年，于哥廷根逝世，享年 76 岁。前半生，他是数学家，用群论重新定义了几何的疆界。后半生，作为教育家，他将哥廷根打造成世界数学中心。

虽然他的晚年因为签署了所谓的《九十三宣言》遭受质疑，但他本人并不愿卷入政治或民族主义，对此深感后悔。真正理解他的人会知道，他留给后世最重要的遗产，不只是纲领与模型，而是那套能够让数学持续生长、不断演化的制度架构与学术远见。

他既是建桥者，也是改革者。他用一生证明了一件事：数学不仅可以是推理的艺术，也是需要制度与组织的工程。



科学方程式