为什么加布里埃尔角的体积有限，但表面积却是无限的？

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为什么加布里埃尔角的体积有限，但表面积却是无限的？

原创  一座宁静的书屋  一座宁静的书屋  2025 年 05 月 31 日 15:07  贵州

加布里埃尔的角是一个三维形状，具有一个有趣且看似矛盾的特性：它的体积有限，但表面积无限。

这引出了一个看似矛盾的悖论，即本文所讨论的画家悖论。该悖论的产生是因为该形状可以用有限量的颜料填充（因为它的体积是有限的）。但当它被填满时，颜料必须接触到其内表面的每一部分。由于表面积是无限的，这意味着我们用有限量的颜料覆盖了无限大的区域！

在本文中，我们将证明该形状的体积有限，面积无限。我们将用两种不同的方法证明：首先，使用无限多个圆柱体（类似于埃万杰利斯塔·托里拆利在 17 世纪首次解决这个问题的方法）；然后，使用微积分。

加布里埃尔的号角

让我们从加布里埃尔号角的定义开始，它的形状基于以下函数：



为了制作加布里埃尔的号角，我们取曲线中 x 大于或等于 1 的部分：



然后我们绕  x 轴旋转一周以形成旋转曲面：



这个角无限长，因为原始函数永远不会达到 0 。但它会越来越窄，我们沿着 x 轴正方向行进。

证明体积是有限的

计算形状体积的显而易见的方法是利用积分法求出旋转体积。然而，这并不是证明其有限性的唯一方法。托里切利（Torricelli）在没有使用微积分的情况下证明了这一结果。我们将在这里讨论的方法与托里拆利的方法类似，但经过了修改和简化。

为了证明结果，我们首先创建一个始终大于或等于反函数的阶跃函数：



对于 1 到 2 之间的 x ，我们的阶跃函数的值为 1 ，这也是 x 为 1 时喇叭函数的值。对于 2 到 3 之间的 x ，我们的阶跃函数的值为 1/2 ，这也是 x 为 2 时喇叭函数的值。下一步的值为 1/3 ，然后是 1/4 ，依此类推。

如果我们绕 x 轴旋转阶跃函数（就像我们创建号角时所做的那样），则每一步都会创建一个圆柱体：



第一步创建一个半径为 1 的圆柱体。下一步半径为 1/2 ，再下一步半径为 1/3 ，以此类推。由于阶跃函数始终大于或等于反函数，因此旋转后的喇叭形状将被包含在圆柱体中：



这意味着喇叭的体积小于圆柱体的体积。所以，如果我们能证明圆柱体的体积是有限的，那么我们也证明了喇叭的体积也是有限的。我们现在就来证明这一点。

圆柱体的体积有一个标准公式：



其中 r 是半径，d 是圆柱体的高度（也就是宽度，如上图所示）。考虑到我们所有圆柱体的宽度都是 1 ，因此公式简化为：



现在，第一个圆柱体的半径为 1 ，下一个圆柱体的半径为 1/2 ，然后是 1/3 ，依此类推。因此，所有圆柱体的总体积为：



取出一个公因数 π 可得出：



括号中的项是无穷平方反比和，这是一个著名的和，被称为巴塞尔问题。它的值是由欧拉计算出来的。这个结果有点奇怪，因为它涉及到 π 的平方，但对我们来说更重要的是它是一个有限值。

由于这个量大于加布里埃尔号角的体积量，这证明加布里埃尔号角的体积量也是有限的！

证明表面积无限大

我们对表面积采用类似的方法。但由于我们期望它是无限的，所以我们从一个被角函数包围的阶跃函数开始：



对于1 到 2 之间的 x ，我们的阶跃函数的值为 1/2，这也是x为 2 时喇叭函数的值。对于2 到 3 之间的x，我们的阶跃函数的值为 1/3，这也是x为 3 时喇叭函数的值。下一步的值为 1/4，然后是 1/5，依此类推。

同样，如果我们绕 x 轴旋转它，我们会得到一组圆柱体：



第一步创建一个半径为 1/2 的圆柱体，然后是 1/3，然后是 1/4 等等。这一次，由于阶跃函数始终小于或等于反函数，因此旋转后的喇叭形状将包围圆柱体：



我们将比较喇叭的表面积与所有圆柱体边缘的表面积之和。我们将忽略每个圆柱体两个圆面的面积。

观察第一个圆柱体，并将其与喇叭的相应部分进行比较，圆柱体的半径恒定为1/2 。喇叭部分的半径在 1 到 1/2 之间变化。喇叭的半径始终大于或等于圆柱体的半径，因此喇叭在该部分的表面积必定大于圆柱体的表面积。喇叭的每个部分都是如此，所以喇叭的总表面积大于所有圆柱体表面积的总和。

因此，如果我们能够证明圆柱体的表面积是无限的，那么我们也就证明了喇叭的表面积是无限的。

圆柱体边缘的表面积，其中 r 是半径，d 是高度，由标准方程给出：



同样，我们所有圆柱体的宽度都是 1，因此可以简化为：



现在，第一个圆柱体的半径为 1/2 ，下一个圆柱体的半径为 1/3 ，然后是 1/4 ，依此类推。因此，所有圆柱体的总表面积为：



取出一个共同因数 2 π 可得出：



括号中的级数，即所有整数分式之和，被称为调和级数，众所周知，它是发散的（即它的和为无穷大）。严格来说，调和级数从 1 开始，然后是 1/2 、1/3 等等。因此，我们的方程比调和级数之和少 1 ，但当然，无穷大减 1 仍然是无穷大，因此圆柱的表面积是无穷大的。

这证明加布里埃尔的角的表面积也是无限的。

使用微积分的证明

加布里埃尔之角是一个旋转体，由函数 1/x 绕 x 轴旋转而成。对于一般函数 f(x) ，有一个计算该形状体积的标准公式。我们这里不做证明（这是另一篇文章的主题），我们只说明 a 和 b 之间的三维立体体积为：



固体的表面积由下式给出：



我们需要考虑的另一件事是，我们试图求出这些积分在 1 到无穷大之间的值。极限为无穷大的积分称为反常积分，我们不能简单地通过将无穷大代入定积分的正规方程来求它。相反，我们必须先计算到某个有限极限 b 的定积分，然后计算结果在 b 趋向无穷大时的极限：



用微积分证明有限体积

我们可以使用上面的体积积分来计算喇叭体积量，其中函数为1/x，取值范围为 1 到无穷大。如上所述，我们将反积分表示为一个极限：



简化并将 π 取到积分之外可得出：



我们使用标准积分：



并评估 1 和 b 之间的结果：



由此得出：



当 b 趋向于无穷大时，1/b 趋向于 0，因此最终结果很简单：



这证明了体积是有限的，而且另外，我们知道它的确切值。

用微积分证明无限表面积

我们还可以使用上面的面积积分来计算喇叭表面积：



我们再次使用角函数 1/x 。这个面积公式也需要 1/x 的导数，这是一个标准结果：



如果我们将 f(x) 和 f '(x) 代入积分，我们得到：



简化为：



这不是一个特别好解的积分，但幸运的是，我们可以避开这个问题。与之前的圆柱体解一样，我们只需要证明积分为无穷大。这样可以进行巧妙的简化。在感兴趣的区间 [1, ∞) 上，以下成立：



当然，对于任何大于 1 的数字，其平方根也将大于 1 ：



由于 1/x 在该区间内为正，因此这也是正确的：



如果我们用 1 代替原始积分中的平方根项，那么它将始终小于表面积：



这很有用，因为我们知道如何对 1/x 进行积分，它是一个标准结果，即 x 的自然对数：



由于 ln(1) 为 0 ，因此结果就是 ln(b) ，随着 b 的增加，结果趋于无穷大。



这意味着 A 也必须是无限的。

一座宁静的书屋

王守恩

好文章！！！

为什么加布里埃尔角的体积有限，但表面积却是无限的？——应该是——为什么加布里埃尔号角的体积有限，但表面积却是无限的？