解方程 (x^3+6)^3=x-6 ，求实数解

波斯猫猫

解方程 (x^3+6)^3=x-6  (俄初中竞赛题，来自抖音).

luyuanhong

可以看出，x=-2 是方程的一个解。

波斯猫猫

题：解方程 (x^3+6)^3=x-6 .

思路(用半代法): 令y=x^3+6，则y^3=x-6，

即y^3=x-(y-x^3)，x^3-y^3+x-y=0，

(x-y)(x^2+xy+y^2+1)=0，

(y^3-y+6)(x^2+xy+y^2+1)=0.

当y^3-y+6=0时，有(y+2)(y^2-2y+3)=0，

显然它仅有实数解y=-2，即x=-2.

当x^2+xy+y^2+1=0时，

有(x+y)^2+x^2+y^2+2=0，显然无实数解.

luyuanhong

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