很杂但是超有趣的数学题，你能做对几道？

luyuanhong

很杂但是超有趣的数学题，你能做对几道？

原创  小猿科普  小猿科普  2025 年 06 月 15 日 08:16  北京

1. 跳水比赛的名次

5 位运动员参加了 10 米台跳水比赛，有人让他们预测比赛结果

A 选手说：B 第二，我第三。

B 选手说：我第二，E 第四。

C 选手说：我第一，D 第二。

D 选手说：C 最后，我第三。

E 选手说：我第四，A 第一。

比赛结束后，每位选手都说对了一半，请确定比赛的名次。



2. 村子里的病狗

村子中有 50 个人，每人有一条狗，在这 50 条狗中有病狗（这件事情大家都知道)。于是人们就要找出病狗。每个人可以观察其他的 49 条狗，以判断它们是否生病，只有自己的狗不能看，观察后得到的结果不得交流，也不能通知病狗的主人，主人一旦推算出自己家的是病狗就要枪毙自己的狗，而且每个人只有权利枪毙自己的狗，没有权利打死其他人的狗。第一天，第二天都没有枪响，到了第三天传来一阵枪声，问有几条病狗，你是如何推算出来的？



3. 死囚试毒

国王要举行一个盛大的宴会，准备了 1000 瓶酒。 宴会前三天有人突然告知其中一瓶酒被下了毒， 喝下后会毒发身亡，但起效需要三天。国王决定 用一些死囚犯来试毒，问最少需要几个死囚犯， 以及如何安排试酒方案来找出毒酒？（注：“起效 需要三天”意味着只有一次试酒的机会，而不能试过一瓶酒没有毒之后再去试另一瓶。



4. 借球问题

学校买来了红、黄、蓝、绿四种颜色的球，每个学生最多只能借 2 个球。至少要有多少个学生借球，才能保证有两个学生借的球是一样的呢？



5. 轮流拿取乒乓球游戏

排列着 100 个乒乓球，由两个人轮流拿球装入口袋，能拿到第 100 个乒乓球的人为胜利者。 条件是：每次拿球者至少要拿 1 个，但最多不能超过 5 个，请问：如果你是最先拿球的人，你该拿几个？以后怎么拿就能保证你能得到第 100 个乒乓球？



答案与解析：

1. 跳水比赛的名次

这是一道经典的逻辑推理问题。可以假设一个命题为真，然后以此为逻辑起点进行推理，如果推导出了矛盾，则说明假设有误；否则说明假设正确。

假设 A 说的“B 第二”正确，那么由此可推导出以下结论，其中黄色背景的结论都是正确的，蓝色背景的结论都是错误的。

A 选手说：B 第二，我第三。

B 选手说：我第二，E 第四。

C 选手说：我第一，D 第二。

D 选手说：C 最后，我第三。

E 选手说：我第四，A 第一。

最终可推导出 C 所说的“D 第二”是正确的，但这与假设A说的“B 第二”正确矛盾，所以最初假设 A 说的“B 第二”正确 是不对的。

接下接下来基于 A 说的“我第三”这个结论正确重新进行推导。

假设 A 说的“我第三”正确，那么由此可推导出以下结论，其中黄色背景的结论都是正确的，蓝色背景的结论都是错误的。

A 选手说：B 第二，我第三。

B 选手说：我第二，E 第四。

C 选手说：我第一，D 第二。

D 选手说：C 最后，我第三。

E 选手说：我第四，A 第一。

这次推导没有推出矛盾，因此最终的结论是：

B 第一名，D 第二名，A 第三名，E 第四名，C 第五名

2. 村子里的病狗

倘若只有 1 条病狗，第一天病狗主人会看到其他 49 条狗都健康，从而推断出自己的狗是病狗，第一天就会枪毙，但第一天没枪响，所以病狗数大于 1 。

倘若有 2 条病狗，第一天病狗主人会看到 1 条病狗，但不确定自己的狗是否健康，第一天不行动；第二天，病狗主人会想，如果只有 1 条病狗，第一天就会枪毙，但第一天没枪响，所以自己的狗也是病狗，第二天就会枪毙，但第二天也没枪响，所以病狗数大于2。

倘若有 3 条病狗，第一天每个狗主人都会看到 2 条病狗，所以如果自己的狗不是病狗，那么第二天就会传来枪声，但是第二天没有枪声，由此可推断出自己的狗也是病狗，所以第三天会枪毙。

综上所述，病狗数为 3 条。

3. 死囚试毒

给这 1000 瓶酒编上号码，并用二进制表示这 1000 瓶酒，也就是从二进制 0000000001 到 1111101000 进行编号。

准备 10 个死囚犯，分别对应二进制的每一位。让每个囚犯喝下所有对应位为 1 的酒。三天后，观察哪些囚犯死亡，将死亡的囚犯对应的二进制位设为 1 ，未死亡的设为 0 ，得到的二进制数就是毒酒的编号。

所以，最少需要 10 个死囚犯。

这个问题跟我之前出过的一个题目——“有趣的警犬找毒药问题”很类似的，感兴趣的同学可以参考那个题目的解法。

4. 借球问题

如果学生只借一个球，则共有红、黄、蓝、绿 这 4 种借球方式。

如果学生要借 2 个球，共有以下 10 种组合方式。

颜色不同的组合方式（共 6 种组合）：



颜色相同的组合方式（共 4 种组合）：



综上所述，如果每个学生最多只能借 2 个球，则共有 4+4+6=14 种借球方式。

根据抽屉原理，至少要有 15 个学生借球，才能保证有两个学生借的球是一样的。

5. 轮流拿取乒乓球游戏

每次拿球者至少要拿 1 个，但最多不能超过 5 个，所以两人每次拿球的总数可以控制在 6 个。100÷6=16……4 ，因此如果只有 100-4=96 个球，则后拿球的人有必胜的策略：只要确保与先手拿球的数量之和为 6 ，就能保证拿到第 100 个乒乓球，如图所示。



但是现在有 100 个乒乓球，而你又是先手，所以你只要先拿 4 个球即可。

以后对方拿 n 个（1≤n≤5），你就拿 6−n 个，保证每次两人拿球的总数为 6 。这样，再经过 16 轮后，你就能拿到第 100 个乒乓球而获胜。

小猿科普