经典奥数问题 —— 小欧吃糖问题

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经典奥数问题 —— 小欧吃糖问题

原创  小猿科普  小猿科普  2025 年 06 月 23 日 07:15  北京

小欧有一袋糖共 120 块。他第一天吃了 1 块糖，之后每天都比前一天多吃 2 块或 3 块糖，第 10 天恰好吃完。那么，在这 10 天中他至少有多少天是比前一天多吃 2 块糖？

题目来源：

全国“数学花园探秘”（原迎春杯）数学竞赛

本题难度：

较难（☆☆☆）

问题解析：

如果小欧每天都比前一天多吃 2 块糖，那么 10 天总共能吃掉多少糖呢？根据等差数列求和公式可知这 10 天一共能够吃掉 10×1+10×9÷2×2=100 块。

同理，如果小欧每天都比前一天多吃 3 块糖，那么 10 天总共吃掉 10×1+10×9÷2×3=145 块。

现在小欧 10 天恰好吃完 120 块糖，说明他有一些天比前一天多吃 3 块糖，有一些天比前一天多吃 2 块糖。那么小欧至少有多少天比前一天多吃 2 块糖呢？

我们先假设小欧每天都比前一天多吃 3 块糖，这样 10 天共吃掉 145 块糖。如果在这 10 天中有一天他比前一天多吃了 2 块糖（而不是多吃 3 块糖），吃糖的总数会发生什么变化呢？请看下图。



如图所示，如果小欧仅第二天比第一天多吃 2 块糖，而后面还是比前一天多吃 3 块糖，那么从第二天起，每天吃掉的糖数都比之前“每天比前一天多吃 3 块糖”的时候少 1 块。这样 10 天内吃糖的总数就比假设的“每天都比前一天多吃 3 块糖”的总数少 9 块。

推而广之，如果小欧第 n 天吃糖比前一天多吃 2 块，其他天仍然比前一天多吃 3 块，那么吃糖的总数就会少 10-(n-1) 块。

从上面的推导中不难看出，如果 n 越小，则 10-(n-1) 就越大，也就是说“比前一天多吃 2 块糖”的这天在 10 天中越靠前，则总共少吃糖的数量就越大。

现在要计算小欧至少需要多少天比前一天多吃 2 块糖，因此选取的 n 值应当尽量小，这样吃糖的总数减小的才会尽量的多，才会以较少的天数将吃糖的总量从 145 块减少到 120 块。

如果第 2 天吃糖比前一天多吃 2 块，则 10 天内的吃糖总数减少 10-(2-1)=9 块；

如果第 3 天吃糖也比前一天多吃 2 块，则 10 天内的吃糖总数再减少 10-(3-1)=8 块；

如果第 4 天吃糖也比前一天多吃 2 块，则 10 天内的吃糖总数再减少 10-(4-1)=7 块；



如果第 2、3、4 天每天都比前一天多吃 2 块糖，其余天每天比前一天多吃 3 块糖，则吃糖总数减少 9+8+7=24 块。

而 145-120 = 25 块，所以还需有一天比前一天多吃 2 块糖，但是吃糖总量仅减小 1 块，所以 n 一定为 10 ，也就是第 10 天吃糖也比前一天多吃 2 块。这样小欧这 10 天总共吃糖 145-25=120 块糖，符合题意。

所以至少需要 4 天每天吃糖比前一天多吃 2 块。

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