小乐数学科普：四面体不倒翁——数学家证明存在并把它造出来了

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小乐数学科普：四面体不倒翁——数学家证明存在并把它造出来了

原创   Quanta Magazine zzllrr 小乐  2025 年 06 月 26 日 12:10  江苏

译自  Quanta Magazine 量子杂志

四面体是最简单的柏拉图立体。数学家们如今制造出了一个仅在一侧稳定的四面体，证实了一个数十年前的猜想。

此四面体形状只能立在其中一个面上。

公元前 360 年，柏拉图（Plato）将宇宙设想为由五种几何形状组成的结构：被称为多面体（polyhedra）的由多个平面构成的立体。这些形状立即成为数学研究的重要对象。因此，令人惊讶的是，几千年后，即使是柏拉图多面体宇宙中最简单的形状——只有四个三角形面的四面体（tetrahedra）——仍然充满谜团。

例如，一个主要的未解决问题是，具有相同面的“正”（regular）四面体的堆积密度是多少。另一个问题是，哪些类型的四面体可以切成小块，然后重新组装成立方体。

大数学家约翰·康威（John Conway）不仅对四面体的排列和重排感兴趣，还对它们如何保持平衡感兴趣。1966 年，他和数学家理查德·盖伊（Richard Guy）提出了一个问题：是否有可能构造一个由均匀材料制成的四面体——其重量均匀分布——并且只能竖立在其中一个面上。如果你将这样一个“单稳态”形状放置在它的任何其他面上，它总是会翻转到那个稳定的面上。

几年后，两人回答了自己的问题，证明了这种均匀单稳态四面体不可能存在。但如果允许其重量不均匀分布呢？

乍一看，这似乎显而易见。“毕竟，不倒翁玩具就是这样运作的：只要在底部放一个重物就行，”北卡罗来纳州立大学的戴维·帕普（Dávid Papp）说。但“这只适用于光滑、圆形或两者兼具的形状。” 至于多面体，它们的每条边尖锐、每个面平坦，因此很难设计出一个能始终翻转到同一侧的东西。

康威则认为这样的四面体应该存在，一些数学家回忆起他曾说过这样的话。但他最终专注于高维、重量均匀四面体的平衡行为。即使他曾写过关于这个即兴三维猜想的证明，也从未发表过。

因此，几十年来，数学家们并没有真正思考这个问题。后来，布达佩斯技术经济大学的数学家加博尔·多莫科斯（Gábor Domokos）出现了，他长期专注于平衡问题。（参阅小乐数学科普 2023 年相关报道文章：小乐数学科普：这位 61 岁的匈牙利数学家正在理解自然界的复杂性）

2006 年，他和一位同事发现了一种名为“gomboc”（冈布茨）的形状，它具有“单稳态”的奇特特性——它只在两个点（一个稳定点，另一个不稳定点，就像硬币的一面）上保持平衡，没有其他平衡点。试图让它在其他任何地方保持平衡，它就会翻滚到稳定点上。


加博尔·多莫科斯发现并构建新的形状来了解我们周围的世界  图源：Akos Stiller

但就像不倒翁一样，gomboc（冈布茨）在某些地方是圆的。多莫科斯想知道尖多面体是否也具有类似的性质。因此，康威的猜想激起了他的兴趣。“怎么可能存在一个关于极其简单的物体的极其简单的命题，但答案却远非显而易见？”他说。“我知道这很可能是宝藏。”

2023 年，多莫科斯与他的研究生格尔戈·阿尔马迪（Gergo Almádi）和克里斯蒂娜·雷格斯（Krisztina Regos），以及加拿大圣玛丽大学的罗伯特·道森（Robert Dawson）一起证明了，操纵一个四面体的重量分布让它只能稳定立在一个面上是可行的，至少在理论上是可行的。

但阿尔马迪、道森和多莫科斯想要建造这个东西，而这项任务远比他们预想的要艰巨得多。如今，在昨天发布到网上的预印本中 https://arxiv.org/abs/2506.19244 ，他们展示了该形状的第一个可操作的物理模型。这个四面体重 120 克，最长边长 50 厘米，由轻质碳纤维和致密碳化钨制成。为了使其能够有效，其精度必须达到十分之一克和十分之一毫米以内。但最终的构造总是能够恰好在一个面上翻转，就像它应该的那样。



这种四面体大部分是空心的，并且具有经过精心校准的质心，只能稳定立在一个面上——这种特性在具有直边和平面的形状中很难实现。


图源：Mark Belan / Quanta Magazine

这项研究展示了实验和游戏在数学研究中的重要作用。它还具有潜在的实际应用价值，例如在自扶正航天器的设计中。

“我没想到会有更多关于四面体的研究成果，”帕普说。然而，他补充道，该团队的研究让数学家们“真正意识到我们之前有多少未知，以及我们现在的理解有多么透彻”。

引爆点

2022 年，当时还是本科生、立志成为建筑师的阿尔马迪选修了多莫科斯的力学课程。他话不多，但多莫科斯却认为他勤奋刻苦、总是在沉思。学期末，多莫科斯让他设计一个简单的算法来探索四面体的平衡原理。


在学习建筑学期间，格尔戈·阿尔马迪（Gergo Almádi）被一道几十年前的几何问题所吸引。图源：Réka Dolina

当康威最初提出这个问题时，他唯一的选择是用纸笔，通过抽象的数学推理来证明单稳态四面体的存在。要找到一个具体的例子几乎是极其困难的。但几十年后，阿尔马迪有了计算机。他可以对大量可能的形状进行穷举搜索。最终，阿尔马迪的程序找到了四面体的四个顶点的坐标，当赋予特定的重量分布时，就可以使其成为单稳态。康威是对的。




克里斯蒂娜·雷格斯（Krisztina Regos ，上上图）和 罗伯特·道森（Robert Dawson ，上图）帮助发现了四面体的新特性  图源：Krisztina Regos、Ms. Tara Inman

阿尔马迪发现了一个单稳态四面体，但推测可能还有其他的。它们有哪些共同的性质？

虽然这看起来像是一个简单的问题，但“像‘四面体是单稳态的’这样的说法不能用一个简单的公式或一组小方程式来轻易描述，”帕普说。

研究团队意识到，在任何单稳态四面体中，三个连续的边（即面与面相交的地方）都需要形成钝角——大于90度。这样就能确保一个面悬在另一个面上，从而允许其倾倒。

数学家们随后证明，任何具有这种特征的四面体，如果其质心位于四个“负载区”（原始形状内更小的四面体区域）之一内，就可以实现单稳态。只要质心落在负载区内，四面体就只能在一个面上保持平衡。


2006 年发现的冈布茨（gomboc）只有两个平衡点，一个稳定，另一个不稳定。数学家们一直在寻找其他具有奇妙平衡特性的形状。图源：加博尔·多莫科斯（Gábor Domokos）

在抽象的数学领域中，实现负载区重量与四面体其余部分重量之间的平衡很容易——你可以定义重量分布，而不必关心其在物理上是否可行。例如，你可以让形状的某些部分完全没有重量，同时将大量的质量集中在其他部分。

但这并不能完全满足数学家们的期望。阿尔马迪、道森和多莫科斯想要将这个形状握在手中。在现实世界中，用真实的材料，有可能制造出一个单稳态四面体吗？

让正确成为现实

团队重新开始进行计算机搜索。他们思考了单稳态四面体可能以各种方式向其稳定面倾斜。例如，一种四面体可能遵循一条非常简单的路径：A 面倾斜向 B 面，B 面倾斜向 C 面，C 面倾斜向 D 面。但在另一个四面体中，A 面可能向 B 面倾斜，而 B 面和 D 面都会向 C 面倾斜。

这些不同四面体的负载区看起来非常不同。研究小组计算出，要使其中一种“倾倒模式”发挥作用，他们需要用密度约为太阳核心密度 1.5 倍的物质来构建部分形状。

他们专注于寻找一种更可行的倾倒模式。即便如此，他们设计的四面体的一部分的密度也必须是其余部分的 5000 倍左右。而且材料必须坚硬——轻薄易弯曲的材料会毁掉这个项目，因为圆形或光滑的形状（比如不倒翁）很容易变成单稳态。

最终，他们设计了一个几乎完全空心的四面体。它由一个轻质碳纤维框架和一小部分由碳化钨（密度比铅高）制成的部件组成。为了尽可能减轻较轻部分的重量，就连碳纤维框架也必须是空心的。

拿到这份蓝图后，多莫科斯联系了匈牙利一家精密工程公司 https://cncnagykft.hu ，希望他们能帮忙建造这个四面体。他们的测量必须极其精确，即使是用来连接各个面的微量胶水的重量也需要精确计算。经过几个月的折腾和几千欧元的投入，团队最终做出了一个非常漂亮的模型，但却完全无法使用。后来，多莫科斯和模型的总工程师发现模型的一个顶点上粘着一团散落的胶水。他们请了一位技术人员把它清除掉。大约 20 分钟后，胶水消失了，阿尔马迪收到了多莫科斯的短消息。

“它有效了，”短消息写道。正在散步的阿尔马迪开始在街上跳来跳去。“电脑上看到的线条与现实相差甚远，”他说。“我们设计了它，而且它有效，这真是太棒了。”

“我原想成为一名建筑师，”他补充道。“所以这对我来说仍然很陌生——我怎么就走到这条道路上来的呢？”

布朗大学的理查德·施瓦茨（Richard Schwartz）表示，最终，关于单稳态四面体的研究并没有涉及任何特别复杂的数学。但他表示，首先提出这样的问题非常重要。这类问题往往最容易被忽视。“推测这些东西会存在，是一件令人惊讶的事情，是一个飞跃，”施瓦茨说。

目前，尚不清楚单稳态四面体模型将提供哪些新的理论见解——但对其进行实验或许能帮助数学家们发现更多有关多面体的有趣问题。与此同时，多莫科斯和阿尔马迪正在努力将他们从构建过程中获得的知识，应用于帮助工程师设计能够在翻倒后自动翻回正轨的月球着陆器。

无论如何，有时候你只需要亲眼看到就能相信，施瓦茨说道。“即使是理论数学，尤其是几何学，人们持怀疑态度也是合理的，因为空间推理相当困难。而且你可能会犯错，人确实会犯错。”

“康威什么都没说，他只是提出了这个想法——从未证明过，也从未证明过它是错的，什么都没有。现在，我不知道，60 年过去了，”阿尔马迪说。“如果他还活着，我们可以把这个放在他的桌子上，让他看看：你是对的。”

作者：Elise Cutts（量子杂志特约撰稿人）2025-6-25

译者：zzllrr 小乐（数学科普公众号）2025-6-26