1^k+2^k+ … + n^k = ？

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1^k+2^k+ … + n^k = ？

这里我们介绍一种基于分部积分法的处理方法，不仅能获得连续自然数幂次的一般求和公式，还能附带证明一个有趣的猜想。说不定读完本文后，聪明的你也会灵感迸发，开辟一个与众不同的新解法。

撰文 | 朱慧坚（玉林师范学院数学与统计学院副教授）、丁玖（美国南密西西比大学数学系教授）

来源 | 返朴

读者朋友看到本文标题，或许会不以为意地发笑一声：这还不简单，不就是



等等吗？您甚至可能还要说下去：上面第一个公式连小学一年级的学生都会求；“数学王子”高斯（Carl Friedrich Gauss，1777-1855）在年幼时就巧妙地俘获了第二个等式；至少在我们读大学一年级期间，学到函数 y=x^2 在区间 [0, 1] 上的定积分时，老师在演示用某种特殊的黎曼和的极限计算值的过程中，就告诉过听课的学生上述第三个公式。这个方法是由古希腊大数学家阿基米德（Archimedes，c.287 – c.212 BC）首创的。

对，您说的大致不错，如果再去查一查微积分教科书，或许还可以继续看到公式



等等，等等。但是，如果有人请教您 1^100+2^100+…+n^100 等于什么，您能马上告诉他相应的公式，或指导他如何下手吗？更进一步地，在仔细察看了上面的六个代数恒等式后，您可能会突然发现，平方和表达式 n(n+1)(2n+1)/6 恰好是四次方和表达式的一个因子，立方和 [n(n+1)]^2/4 恰好是五次方和的一个因子。这时，您肯定在纳闷这仅仅是巧合，还是说对六次和七次幂，甚至更高次幂的求和公式也都是如此。好吧，我们再瞧一瞧接下来的三个公式：



结果发现同样的模式依然存在。这似乎是个有意义的观察，勾起我们的好奇心：对一般的正奇数 k>1 或正偶数 k ，从 1 到 n 的连续自然数 k 次幂之和的表达式是否分别具有上面所说的因子？

在全世界流传百年之久的传奇故事是这样说的：高斯年幼时，他的老师为了整治班内淘气学童，要求学生计算 1+2+…+99+100 。聪明的小高斯将其反方向写成 100+99+…+2+1 ，再与原式上下对齐，纵向相加，加出了 100 个同一个数，该数乘以 100 再除以 2 ，便在片刻之间算出答案



这个数学传奇激励着天下俊杰对各种形式的自然数群体相加、相乘寻觅规律，破解谜团。作为一个佳例，从古到今不知有多少人热衷于发明新的方法，回答本文标题所提的数学问题。为了建立一个既封闭又悦眼的求和公式，所涉及到的数学工具实在是五彩缤纷，思路和技巧各种各样，又“条条大道通罗马”，显示出不同数学分支之间的密切相关性。在这些手段中，有的是基于组合数学的生成函数概念，有的是运用线性差分方程的理论，也有的甚至借用了初等微分学里的洛必达法则。几何中最有名的勾股定理据说已有约五百种证明，但我们还不清楚现在有多少种办法能够导出自然数同幂次求和的表达式。说不定读完本文后，有个聪明而好奇心极强的读者会滋生灵感，磨砺出一把新斧头，开辟一个与众不同的解法。这里，我们介绍一种基于分部积分法的处理方法，它历史悠久，不仅能获得连续自然数幂次的一般求和公式，而且还能证明上述关于和式因子结构的猜想为真。它来自于数值积分中一个著名求和公式对单项式函数的巧妙应用，曾被作者用于证明同事提出过的上述猜想，那时作者正为大学高年级学生和研究生开设一门数值分析课程，恰好在课堂上讲授到那个积分近似公式。

欧拉-麦克劳林求和公式




雅各布·伯努利的墓碑，螺线周围的拉丁文 Eadem mutata resurgo 意为“纵使变化，依然故我”｜Wikipedia

雅各布的二弟约翰（Johann Bernoulli，1667-1748）微积分本领超越常人，常与大哥争强好胜，如比赛求解“最速降线问题”，甚至也曾向牛顿叫板，结果是后者提速了变分学的发展。约翰不仅培养和提携了少年欧拉，而且伯努利家族在他这一支涌现出的数学家最多。雅各布的大弟尼古拉斯是个画家，其子尼古拉斯一世（Nicolaus I Bernoulli,1687-1759）在伯父的教导下成长为数学家，对微分方程等学科多有建树。约翰的儿子丹尼尔（Daniel Bernoulli，1700-1782）对概率论有开创性研究，也是欧拉的同事和亲密战友。在伯努利家族中，上述几位是我们在大学教科书中见过面的杰出代表。第三代中的数学家约翰三世（Johann III Bernoulli，1744-1807）则是个多才多艺的罕见神童。

伯努利多项式与伯努利数



计算 1^k+2^k+…+n^k



和式 1^k+2^k+…+n^k 中的因子



好玩的数学  2015 年 07 月 02 日 07:05  江西