穿越的数学传奇？自学成才，与神对话，他的失败比成就更精彩！

luyuanhong

穿越的数学传奇？自学成才，与神对话，他的失败比成就更精彩！

科学理论兴衰更迭，岁岁枯荣，数学却最是长青。

《悠扬的素数》讲述了一场传奇的接力赛，数学家们奔跑不歇，将素数的接力棒传递给下一代。今天故事的主角是数学传奇——拉马努金。

作为一个贫穷且孤独的印度人，拉马努金有着绝对的劣势，但他却凭借自己的头脑来应对欧洲的智慧积累，素数方面的失败甚至比他的任何成就更加精彩！

来源 | 《悠扬的素数》

作者 | [英] 马库斯·杜·索托伊（Marcus du Sautoy）

译者 | 谈天星

01  奇妙的直觉

当哈代和李特尔伍德在奇异的黎曼图景中奋力穿行时，远在八千公里之外的斯里尼瓦瑟·拉马努金，一位来自印度马德拉斯 A 港务局的年轻职员也沉醉在神秘莫测的素数变幻中。

在办公室里，他丢开了枯燥的账本，不好好做自己的本职工作，而是在笔记本上观察着、计算着，想要知道，这些奇怪的数是如何嘀嗒作响的。

拉马努金在计算素数时，对于兴起于西方的复杂观点是无从知晓的。他没有接受过正规教育，所以并不像李特尔伍德和哈代那样，对数论，尤其是对素数怀有敬意。哈代称素数是“最为艰深的纯数问题”。

而拉马努金不受任何数学传统的限制，以孩童般的热情醉心于素数，加上他那非凡的数学天赋，这份纯粹最终成了他的巨大优势。



身处剑桥的哈代和李特尔伍德在兰道的书中见证了素数的传奇，而身处印度的拉马努金则是受到一本基础读物的激励才迷上了素数，其影响同样深远。

科学家们在年轻时遇到的一些转折点，几乎能奠定他们往后的人生轨迹。学生时代的黎曼收到了一本勒让德的著作，这就是他的人生转折点：这本书在他的生命里埋下了种子，而后发芽。至于哈代和李特尔伍德，他们皆是受了兰道的影响。

1903 年，15 岁的拉马努金在阅读乔治·卡尔（George Carr）的《纯粹数学与应用数学基本结果汇编》（Synopsis of Elementary Results in Pure and Applied Mathematics）时豁然开朗。除却与拉马努金的关联，这本书的内容和作者并不重要，但其结构值得关注。这本书其实是一份清单，包含了 4400 个经典结果——只有结果，没有证明。

在接下来的几年里，拉马努金迎难而上，通读了这本书，证出了其中的每一个论点。他对西方的数学证明模式一无所知，所以自成一派。正因为不受传统思维模式的束缚，他才能自由漫步。没过多久，他的笔记本上就写满了超越卡尔原著的想法和结果。

费马有许多未能证明的论点，是欧拉对其展开了研究。拉马努金的探索正体现了这种欧拉精神。拉马努金有一种奇妙的直觉，能够不断调整公式，直至得出新见解。当他发现虚数可以将指数函数和声波方程关联在一起时，他不免欢喜雀跃。

几天后，喜悦转为失望，这位年轻的印度职员发现，欧拉早在 150 多年前就已实现这一伟大成就。拉马努金自卑又沮丧地将他的计算藏了起来。

02  梦中的女神

大多时候，数学上的创新十分艰难，但拉马努金的工作方式总有些传奇色彩。他曾声称，是女神纳玛基丽（Namagiri）在梦中给了他这些启示。纳玛基丽是他的家族女神，也是毗湿奴的第四种化身人狮那罗希摩的神妃。拉马努金的村邻们相信，女神有着驱逐恶魔的力量。对拉马努金而言，女神赐予了他灵感，自己才有了源源不断的数学发现。

将梦境当作探索数学的沃土的人，不仅有拉马努金。狄利克雷到了晚上就会把高斯的《算术探索》塞在枕头下，以期得到灵感，从而理解这本书里各种晦涩的陈述。思维就像是跳出了现实世界，可以自由探索在清醒时被封锁的路径。

拉马努金似乎可以在清醒时自发进入这种梦境般的地界。许多数学家想要实现的状态就近似于这种神游之境。

阿达马因证出素数定理而声名显赫。他对数学家的创造性思维过程深感着迷，并在 1945 年出版的《数学领域中的发明心理学》（The Psychology of Invention in the Mathematical Field）一书中阐述了自己的观点，对潜意识的作用做出了有力论证。神经学家也对数学思维模式越来越感兴趣，因为这可以揭示大脑的运作方式。

在清醒的工作中，有些想法会在我们的头脑中扎根；而在休息时，乃至在做梦时，就是它们自由发挥的时候了。

阿达马在他的书中将数学发现的过程划分为四个阶段：预备阶段、酝酿发酵、灵光乍现、验证阶段。如果说拉马努金在第三阶段有着傲人的天赋，那么在第四阶段，他就显得过于平庸了。

拉马努金并不缺乏灵感，他只是没有意识到论证的必要性。或许正是因为没有求证的负担，拉马努金 才能自由地在数学的荒原中探索新的路径。这种直觉式的风格与西方的科学传统截然不同。正如李特尔伍德后来所写：“他完全不知道证明究竟意味着什么。但凡有让他深信不疑的证据和直觉，他就不会再深究了。”

当年，印度学校深受英国教育理念的影响。英国的教育体系虽然将李特尔伍德和哈代培养得相当出色，却没能培养好印度青年拉马努金。

1907 年，当李特尔伍德的论文在剑桥大学备受好评时，拉马努金正遭遇第三次也是最后一次入学考试失败。要是只考数学的话，他当然能通过，但他还 得学习英语、历史、梵文，甚至生理学。

作为正统的婆罗门，拉马努金是一位严格的素食主义者，接受不了对青蛙和兔子进行解剖。考试失败意味着他没法进入马德拉斯大学，但这并没有浇灭燃烧在他心中的数学之火。

直到 1910 年，拉马努金一直在积极寻求认可。当发现有那么一个公式似乎可以极其准确地计算出素数时，他感到兴奋不已。最开始，拉马努金和大多数人一样，在试图征服这串无序数列的过程中感到挫败。但他明白素数对数学有多重要，坚持认为存在着某个数学公式可以解释它们。他始终天真地相信，方程与公式可以精确地表述出所有的数学及其规律。

正如李特尔伍德后来所说：“如果是在 100 或 150 年前，拉马努金该是多么伟大的数学家！要是他能在刚刚好的时候遇见欧拉，会怎么样呢？但这个公式的辉煌时代似乎已经过去了。”

不过，19 到 20 世纪由黎曼引起的巨变是拉马努金未曾经历过的。他想要找出素数的生成公式。在计算了好几小时的素数表之后，他看出了一种规律。他热切地想要解释自己的初步发现，说不定会有人欣赏他的想法。

借助他那些精彩的笔记，借助婆罗门强大的社会网络，拉马努金顺利进入马德拉斯港务局，成了一名会计。

他开始在《印度数学学会杂志》（Journal of the Indian Mathematical Society）上发表一些论点，而他的名字 也引起了英国当局的注意。彼时，C. L. T. 格里菲斯（C. L. T. Griffith）正任职于马德拉斯工程学院。他认为，拉马努金的成果体现了一位“卓越数学家”的水准，但具体内容，他无法妄议。因此，他问询了一位教授的观点。在伦敦上学时，这位教授曾教过他。

没有受过正规训练的拉马努金形成了自己独有的数学风格。后来，伦敦大学学院的希尔（Hill）教授收到了拉马努金的论文，该论文声称证出了



不出意料，在希尔看来，其内容大多很空泛。即便找一个外行来看，也会觉得这个公式非常荒谬。把所有整数加在一起会得到一个负分数，这个人是疯了吧？他在给格里菲斯的回信中写道：“拉马努金先生已经陷入发散级数的陷阱，这是一门极为艰深的学科。”

不过希尔也并非全然对此不屑一顾。拉马努金在收到转述给他的评价后倍感鼓舞，于是决定自己尝试一下，给剑桥大学的好几位数学家写了信。其中两位收信人没能理解这种奇怪的算术，拒绝了这个印度人的求助。

但接下来，拉马努金的信落到了哈代的桌上。数学界似乎总有“怪人”出现。或许费马对此要负一点责任。从兰道的拒信范本就可以想见，他收到了多少封“怪人”的来信。大家都说自己证出了费马大定理，想要赢得沃尔夫斯凯尔奖。数学家们对于这些莫名其妙的来信已经见怪不怪了，其中都是些疯狂的数学理论。比如，哈代就经常被这种手稿所淹没。据他的朋友 C. P. 斯诺（C. P. Snow）回忆，有人声称自己解开了大金字塔的预言之谜，还有人说解开了弗朗西斯·培根藏在莎士比亚戏剧中的密码。

加纳帕蒂·耶尔（Ganapathy Iyer）是马德拉斯大学的数学教授，他在此前不久送给拉马努金一本哈代的《无穷阶数》（Orders of Infinity），两人常在傍晚时去海滩讨论数学。在翻阅哈代的文字时，拉马努金笃定地意识到，至少还是有那么一个人可能会认同他的想法。

但后来，他承认自己害怕了，怕哈代在看见这个无穷和后，会建议他去疯人院。“尚未找到一个公式，能明确地表述出给定范围内的素数个数。”哈代的这番论述令拉马努金激动不已。他确信自己找到了一个几近完美的公式，可以给出素数个数。他迫不及待地想要知道，哈代对这个公式会有什么看法。

一大早，哈代就收到了拉马努金的来信，上面贴满了印度邮票。他的第一印象不是很好。手稿中写着关于计算素数个数的理论，疯狂又离奇，还将已知的结论当作了原创的发现。在附信中，拉马努金宣称自己已经“找到了一个能准确计算出素数个数的函数”。哈代知道这有多惊人，但对方并没有提供任何公式。

什么证明都没有，再糟糕不过了！

对哈代而言，证明就是一切。他曾在三一学院的高桌上对伯特兰·罗素说过：“要是我能通过逻辑证明你会在五分钟内死亡，我会为你即将辞世而抱憾，但证明的快乐会抚平我的悲伤。”

据斯诺回忆，哈代很快就读完了拉马努金的作品，觉得“无趣又恼火，好像莫名其妙被骗了”。但到了晚上，那些疯狂的理论开始发挥魔力。晚餐后，哈代喊来李特尔伍德讨论了一番。直到午夜，问题终于解决了。

哈代和李特尔伍德知道如何破解拉马努金的怪诞之词后才明白，这一切并非“怪人疯语”，而是天才之作，它出自一位未曾受训却非凡的天才。

他们都对拉马努金的无穷级数表示肯定。这一求和看似疯狂，却重新定义了黎曼的 ζ 图景所缺失的部分。要想破解拉马努金的公式，就得将 2 这个数改写成 1/2^(-1)（  2^(-1) 是 1/2 的另一种写法）。黎曼和李特尔伍德据此调整了每一个数，重新书写了无穷级数的公式：



当代入 -1 时，该如何计算 ζ 函数？黎曼想要的答案就在这里了。没有接受过正规训练的拉马努金独自完成了全部过程，并且重新构建了黎曼所发现的 ζ 图景。

03  失败比成就更加精彩

拉马努金的信来得真是时候。兰道的著作让李特尔伍德和哈代都被奇妙的黎曼函数所吸引，想要知道 ζ 图景与素数的关联。现在，拉马努金自称有一个非常精确的公式，可以给出任意范围内的素数个数。那天早上，哈代否定了这一主张，以为拉马努金就是个数学疯子。但经过当晚的研究，这个来自印度的包裹变得耀眼起来。

拉马努金说，直至计算到 100 000 000 个素数，他的公式基本能维持零误差，“偶尔会相差一两个”。对此，哈代和李特尔伍德当然是震惊的。但问题在于，公式并没有被给出。事实上，对于两位离不开严格论证的数学家来说，这封信从头到尾都相当令人沮丧。信中的公式和结论都没有得到解释，不知出处。

哈代给拉马努金写了一封积极的回信，但希望对方能给出素数公式的证明以及更多细节。李特尔伍德还加了一张便条，希望他能尽快将素数个数的公式寄过来，“证明也要尽可能充分”。两位数学家都对拉马努金的回信充满了期待，常常坐在高桌上一起共进晚餐，想要进一步破解拉马努金的第一封信。罗素在给朋友的一封信中提道：“我在大厅里看见了欣喜若狂的哈代和李特尔伍德，他们相信自己发现了第二个牛顿——一个来自印度马德拉斯的年薪 20 英镑的小职员。”

拉马努金的第二封信如期而至。其中写有好几个素数公式，但还是缺少证明。李特尔伍德写道：“就这种情况，这封信可真是把人给急疯了。”他寻思着，拉马努金大概是怕哈代会偷走他的成果。哈代和李特尔伍德仔细翻阅第二封信时看到，拉马努金已经触及了黎曼的另一项重要发现。高斯的素数统计公式经黎曼改进后变得相当准确。黎曼借助 ζ 图景中的零点消除了这一公式会产生的误差。

这是一个来自五十年前的发现，拉马努金不知缘何就构建出了黎曼公式的一部分。他的公式包含了黎曼对高斯猜想的改进，但并未用零点消除误差。

拉马努金是否在说，海平面上的点所带来的误差以某种奇妙的方式被抵消了？傅里叶从音乐的角度分析了这些误差。每个零点就像是个音叉，它们共同奏响了素数之声。有时候，声波相互抵消，就会带来一片寂静，就像飞机会借助机舱内的声波来抵消发动机的噪声。拉马努金是不是认为，黎曼用零点构建的波可以带来寂静？

复活节期间，李特尔伍德带着拉马努金的信件副本，和情人一家一起去往康沃尔度假。他和哈代从来都不用名相互称呼，所以在信中回复的是“亲爱的哈代”。他写道：“那个关于素数的主张并不正确。”李特尔伍德成功证出，这些波产生的误差是无法相互抵消的。所以，拉马努金重新构建出的黎曼公式并没有他以为的那样准确。无论计数如何增加，始终都有噪声。

李特尔伍德受拉马努金启发，给出了这一分析，刚好也为黎曼的成果带来了有趣的新见解。数学家们之所以重视黎曼假设，就是因为它表明了，与 N 的大小相比，高斯猜想与 N 以内实际素数个数的误差微乎其微，基本上不会超过 N 的平方根。但如果零点不在黎曼的临界线上，误差就会大得多。现在，拉马努金的来信表明，超越黎曼是可行的。也许，随着素数计数的增加，误差会小于 N 的平方根。李特尔伍德在康沃尔的研究粉碎了这一希望。李特尔伍德能够证出，由零点引起的误差无论如何都不会小于 N 的平方根。黎曼假设给出的是最乐观的情况了。拉马努金的确错了，却让哈代印象深刻。正如哈代后来所写：“也许在某种意义上，他的失败要比他的任何成就都更加精彩。”

“我模糊地知道他是怎么出错的了。”李特尔伍德在写给哈代的信中提到了他的猜测，拉马努金肯定是误以为 ζ 图景的海平面上没有点。的确，要是这样的话，拉马努金的公式就没什么问题了。李特尔伍德还是兴奋的。他断言：“我觉得他起码是雅可比那个级别的。”雅可比可是黎曼时代的数学之星。哈代给拉马努金回了信：“你要是能证明出自己的论点，那将是整个数学史上最瞩目的成就。”虽然拉马努金有着傲人的天赋，但很明显，他还是需要尽快熟悉一下最新的知识。李特尔伍德向哈代提及自己的想法：“他会掉进这个坑里并不奇怪。人家可能从来都没怀疑素数深藏恶意。”正如哈代所评价的那样：“作为一个贫穷且孤独的印度人，他有着绝对的劣势，却凭借自己的头脑来应对欧洲的智慧积累。”

他们决定，无论如何都要将拉马努金带来剑桥，于是托付三一学院的同事 E. H. 内维尔（E. H. Neville）去劝说拉马努金加入他们。一开始，拉马努金并不乐意离开印度，漂洋过海会让他失去婆罗门的身份。朋友纳拉亚纳·耶尔（Narayana Iyer）看出了他对剑桥的向往，于是制订了一个计划。耶尔相信，对数学的热爱以及对女神纳玛基丽的笃信终将说服拉马努金——他其实是可以去剑桥的。耶尔带着拉马努金来到纳玛基丽的神庙寻求启示。在石板上睡了三晚后，拉马努金突然醒来。他立刻就把朋友叫了起来：“我在一道绚丽的光中看见纳玛基丽命我出海。”耶尔笑了，他的计划很顺利。

拉马努金还担心自己的家人不会同意。但家族女神纳玛基丽再度出现。拉马努金的母亲梦见她的儿子坐在一个大厅里，周围全是欧洲人，女神纳玛基丽命她不要挡了儿子的路。他最后担心的是，要是得在剑桥参加考试，又该丢人了。内维尔帮他打消了这一顾虑。拉马努金离开了到处都是小房子的马德拉斯，来到了剑桥的宏伟大厅与图书馆，就如同他母亲梦见的那样。

图灵新知  2025 年 07 月 09 日 10:52  北京