欧拉究竟是如何做到的

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欧拉究竟是如何做到的

原创  围城里的猫  MathSpark  2025 年 07 月 10 日 17:04  江苏

数学中最著名的公式之一，事实上在整个科学领域都赫赫有名，通常有两种不同的写法：



此外，它有各种不同的名称，如欧拉恒等式（我们在推送中采用的名称）、欧拉公式或欧拉方程。无论其名称或形式如何，它都经常出现在人们“最喜爱的”数学结果榜单的前列或顶部。

1988 年由 David Wells《Mathematics Intelligencer》发起的“最美的定理”调查中排名第一；在 2004 年由《Physics World》编辑进行的“最伟大的方程”评选中名列第二；2007 年在 MAA 短期课程“欧拉最伟大的定理”参与者调查中位列第三。

无论人们称它为公式、方程还是恒等式，也无论采用哪种形式，几乎所有人都将这一结果归功于欧拉。但究竟为什么人们将这个结果归功于欧拉，却并不完全清楚，因为他从未以这种形式写下它，也不是第一个认识到这个公式背后事实的人，而且欧拉本人还将这个发现归功于他的导师约翰·伯努利。



在这期推送中，我们将探讨欧拉恒等式的起源，看看欧拉具体贡献了什么，并思考这个命名是否恰当。

阶段一：1702 到 1729 年





关于 Abraham DeMoivre（1667–1754）是如何发现德莫弗公式 我在网上也没有找到相关的资料，因此不清楚他当时在思考什么，也不清楚他的推导是否严谨。只知道 该公式出现在 De Moivre 1722 年发表的一篇论文中，但一个密切相关的公式曾出现在他 1707 年发表的早期论文中。





阶段二：1740 年代

让我们跳到 1740 年，当时欧拉正在撰写他那部伟大的前微积分教科书 Introductio in analysin infinitorum 。欧拉几乎花了整个 1740 年来写这本书，之后却一度难以找到出版商。最终他在瑞士找到了一家出版社，这本书于 1748 年出版。如今，许多人认为这是有史以来最伟大的数学书籍。



历史的裁决

在 18 世纪早期，Cotes、DeMoivre、Johann Bernoulli 以及欧拉本人都掌握了可能引导他们发现欧拉公式的关键部分。但他们当时所研究的问题并不依赖于欧拉公式，因此没有任何人有动力去发现它。

相比之下，在 1740 年代，欧拉有充分的理由去了解欧拉公式——他正在探索三角函数的性质，并寻找有效的逼近方法。而且，他对欧拉公式的证明是优美而有说服力的，完全符合当时的严谨标准，并且很容易用现代极限语言来转述。由于欧拉的论证既完整又有充分动机，将他的名字冠于这个公式似乎是合情合理的。

“欧拉恒等式”这个名字的问题则略有不同。尽管它只是欧拉公式的一个特殊情形，但欧拉似乎从未明确写下它。我没有发现任何人是第一个写出它的记录。数学界似乎对此已基本达成一致，几乎一致地称之为“欧拉恒等式”，而其他人也没有提出更具说服力的归属。

这是整个数学中最美丽的公式之一。

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