平面几何的学与思 51 ——正方形内构造等边三角形

luyuanhong

平面几何的学与思 51 ——正方形内构造等边三角形

原创  太阳元素  太阳元素  2025 年 07 月 12 日 10:24  广东

正方形是中心对称和轴对称图形，有多种美妙性质，自然也是各种几何题的常客，现在试举几例来浅谈下涉及正方形的解题思路。

题 51 ：正方形 ABCD ，P 是正方形内一点，PA= PD 且 ∠PAD＝15° ，求证：ΔPBC 是等边三角形。


                原图


               解题图

证：在 ΔPBA 内取一点 O ，使得 OA = OB = PA= PD ，

正方形 ABCD ，AB = AD

∴ ΔPAD ≌ ΔOAB

∴ ∠OAB＝∠PAD＝15° ，∠AOB＝150°

∴ ∠PAD＝∠AOP＝60°

而 OA = OB = PA ，ΔOAP 是等边三角形

∴ OA = OP = PA

∵ ∠BOP＝360°- ∠AOB - ∠AOP = 150°＝∠BOA

又 ∵ OA = OB = OP

∴ ΔOPB ≌ ΔOAB

∴  AB = BP ，∠OBA＝∠PBO＝15°

∴  AB = BP = BC ，∠PBC＝60°

∴ ΔPBC 是等边三角形

如果知道半角公式，可以直接计算

设正方形边长为 2 ，过 P 作 PF⊥BC ，延长 FP 交 AD 于 E ，PE⊥AD

PA= PD ，则 E、F 分别是 AD、BC 中点，AE = BF=1

PE = AE×tan15°= sin30°/(1+ cos30°) = 2-√3

   PF = EF - PE = √3

   tan∠PBF = PF/BF = √3

   ∠PBF = 60°

   而 PA= PD ，根据对称性知 PB= PC

   ∴ ΔPBC 是等边三角形

PS：如果不知道半角公式，又得找回 38 题的这个图了，以上实际是几何法和三角法的殊途同归。



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