双等腰梯形外接圆的优美结构—— 2025 年 IMO 第一天平面几何题的重要结构与推广

luyuanhong

双等腰梯形外接圆的优美结构—— 2025 年 IMO 第一天平面几何题的重要结构与推广

原创  高航  航家数学  2025 年 07 月 15 日 22:04  重庆

命题：

等腰梯形 ABCD 和 AEFG（A，B，E 三点共线）外接圆圆心分别为 X，Y ，外接圆交于另一点 L ，XB∩YE=K ，则 B，L，E，K 四点共圆.



这是笔者在研究今天刚出炉的 2025 年 IMO 第一天平面几何题时，提炼出来的结构，也是本题的关键所在.

证明：

∠BKE=180°-(∠BEK+∠EBK)=180°-(∠EAY+∠XAB)=180°-∠XAY

∠LBE=∠ADL=0.5∠AXL=∠AXY

∠LEB=∠AGL=0.5∠AYL=∠AYX

∠BLE=180°-(∠LBE+∠LEB)=180°-(∠AXY+∠AYX)=∠XAY

所以 ∠BKE+∠BLE=180° ，即 B，L，E，K 四点共圆.

核心思路就是导角，这个过程很考验导角的基本功.



完成这个结构后，原来的题目就不难了.好多几何高手都给出了漂亮的证明，我就不班门弄斧了，只是给出自己的发现和推广、简化后的模型，也可以作为初中生四点共圆的训练题.

下面简单说一下 IMO 题的思路：

（2025 IMO 题）

设圆 Ω 和圆 Γ 的圆心分别为点 M 和点 N ，且圆 Ω 的半径小于圆 Γ 的半径.

设两圆 Ω 和 Γ 交于相异的两点 A，B ，直线 MN 与圆 Ω 的交点之一为 C ，

直线 MN 与圆 Γ 的一个交点为 D ，且 C，M，N，D 在直线上顺次排列.

记 P 为 ΔACD 的外心.

直线 AP 交圆 Ω 于点 E≠A ，交圆 Γ 于点 F≠A ，设点 H 为 ΔPMN 的垂心.

证明：过点 H 且平行于 AP 的直线与三角形 BEF 的外接圆相切.



证明直线和外接圆相切，切点最好用不依赖圆的方法刻画.

（初学者很容易想到设直线与三角形 BEF 的外接圆交点，但这个是明显的伪证，凭什么直线和圆有公共点呢？）

精确作图后，发现切点貌似是 ME,FN 的交点，于是作出交点 K ，再连接 PC,PD 分别和两个圆交于 X,Y ，就出现了引理的结构，于是由引理，B，E，K，F 四点共圆.后面只需要证明 KH∥AP ，然后用弦切角定理的逆定理，导角不难.



航家数学