\(\LARGE^*\;\underset{n\to\infty}{\lim}(n+k)=\lim n\,(\forall k\in\mathbb{N})\)

elim

【定理】\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}(n\pm k)=\lim _{n\to\infty}n\,(\forall k\in\mathbb{N})\)
【证明】对\(n\pm k< \sup\mathbb{N}\,(n, k\in\mathbb{N})\) 关于\(n\)取极
\(\qquad\)限得 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}(n+k)\le\small\sup\mathbb{N}=\lim_{n\to\infty}n\,(\forall k\in\mathbb{N}).\)
\(\qquad\)本定理由此得证.\(\small\qquad\square\)
【推论】\(\lim n\) 非零且不是后继数故不是自然数．
【证明】因\(v-1=\lim (n-1) =\lim n=v\) 故
\(\qquad v\)不是自然数.\(\small\qquad\square\)