正三角形 ABC 内接于一个半径为 2 的圆，P 是圆周上一点，求 PA×PB×PC 的最大值

wintex

王守恩

瞪眼:  P在BC平分线上。PA×PB×PC =4×2×2=16。

ataorj

如图,显然,BCP中的w在y取最大值时也才有最大值,
又相交弦关系,xz=yw,所以y取最大值4时xyz有最大值yyw=16*1

wintex

王守恩 发表于 2025-8-5 18:14
瞪眼:  P在BC平分线上。PA×PB×PC =4×2×2=16。

為何老師一眼看出？

Ysu2008

半自动手搓法：


【解】如图，以BC中点为坐标原点建立直角坐标系。
圆半径为 2 ，正三角形边长必为 \(2\sqrt{3}\)
A点坐标为\(\left( 0{,}3\right)\)
B点坐标为\(\left( -\sqrt{3}{,}0\right)\)
C点坐标为\(\left( \sqrt{3}{,}0\right)\)
圆心D坐标为\(\left( 0{,}1\right)\)
圆的直角坐标方程为\(x^2+\left( y-1\right)^2=4\)
圆的参数方程为\(\begin{cases}
x=2\cos\theta\\
y=1+2\sin\theta
\end{cases}\)
所以P点坐标为\(\left( 2\cos\theta{,}1+2\sin\theta\right)\)

则
\(PA=\sqrt{4\cos^2\theta+\left( 1+2\sin\theta-3\right)^2}\)
\(PB=\sqrt{\left( 2\cos\theta+\sqrt{3}\right)^2+\left( 1+2\sin\theta\right)^2}\)
\(PC=\sqrt{\left( 2\cos\theta-\sqrt{3}\right)^2+\left( 1+2\sin\theta\right)^2}\)
\(PA\cdot PB\cdot PC=\sqrt{4\cos^2\theta+\left( 1+2\sin\theta-3\right)^2}\cdot\sqrt{\left( 2\cos\theta+\sqrt{3}\right)^2+\left( 1+2\sin\theta\right)^2}\cdot\sqrt{\left( 2\cos\theta-\sqrt{3}\right)^2+\left( 1+2\sin\theta\right)^2}\)

将上式搞 WolframAlpha 里头，化简得
\(PA\cdot PB\cdot PC=8\sqrt{2}\sqrt{\sin\left( 3\theta\right)+1}\)

其图像为


显然，当\(\sin3\theta=1\)时，\(PA\cdot PB\cdot PC\)取得最大值 \(=8\sqrt{2}\sqrt{1+1}=16\)

luyuanhong

ataorj

如图,AB=AC,动点P在弧BEC上,y=AP.
1),BCP中的w在y取最大值(动点P在E)时也才有最大值,
这一步主要是要证EF>=PG.这样:[其实可由AE>=AP，AG>=AF直接得结果]
是AG/AF=AE/AP>=1且AP>=AG,证(AE-AF)>=(AP-AG)
显然,AG/AF=AE/AP=(AE-AG)/(AP-AF)>=1,(AE-AG)>=(AP-AF)
即(AE-AF)>=(AP-AG+2AG-2AF)>=(AP-AG)
2),又相交弦关系,xz=yw,所以y取最大值时xyz有最大值yyw
(注意,虚线包括虚圆都是动态变化的,但是两个w总是相等的)