很杂但超有趣的数学题

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很杂但超有趣的数学题

原创  小猿科普  小猿科普  2025 年 08 月 01 日

有些日子没有更新“很杂但超有趣的数学题”系列了，今天再更新一波，看一看同学们能做对几道呢？话不多少，直接上干货。



1、奥斑马的三角形

难度：★

奥斑马在纸上画了一个三角形，然后问欧欧：这个三角形中的最大角减去最小角的度数正好等于中等角的度数，请问这个三角形是什么三角形？

2、王老板损失了多少钱？

难度：★★

一天有个年轻人来到王老板的店里买一件礼物，这件礼物成本是 18 元，售价是 21 元。结果是这个年轻人掏出 100 元要买这件礼物。王老板当时没有零钱，用那 100 元向街坊换了 100 元的零钱，找给年轻人 79 元。但是街坊后来发现那 100 元是假钞，王老板无奈还了街坊 100 元。现在问题是：王老板在这次交易中到底损失了多少钱？

3、切割铜环

难度：★★★

有一串铜环，一共七个环，套在一起成一条，要你每天取走一个环，七天恰好取完七个铜环。条件是：七个铜环只许你砍断一个，砍断了一个就不能再砍了。请问这办得到吗？

4、额头上的数字

难度：★★★

两人头上贴数字（正整数 ≥1 ），他们的数字差 1 ，只看得见对方的数字。两人对话为：A：我不知道自己的数字；B：我也不知道；A：我知道了；B：我也知道了。请问 A、B 头上分别是多少?

5、阴影部分的面积差

难度：★★★★

图中是一个直径为 2 的半圆，点 C,D,E 将直径 AB 平分成四份，用 ○ 标出的角度均为 45° ，请问蓝色部分和黄色部分的面积相差多少？



答案与解析：

1、奥斑马的三角形

因为最大角减去最小角的度数正好等于中等角的度数，所以该三角形的 3 个内角关系如图所示：



所以大角的角度一定等于 180°÷2=90° 。

所以这个三角形是直角三角形。

2、王老板损失了多少钱？

要想计算王老板最终损失多少钱，关键是要计算整个交易过程中王老板有多少“进账”，又有多少“出账”，“出账”-“进账”即为他最终损失的钱数。



如图所示，整个交易过程中，我老板入账 100 元，出账 18+79+100=197 元，所以王老板损失 197-100=97 元。

3、切割铜环

7 个铜环连在一起，如果在一个铜环上砍一刀，会有什么结果呢？



最边上的铜环砍一刀，可将铜环分成两部分：6 个铜环连在一起 + 单独一个铜环



中间某个铜环上砍一刀，可将铜环分成 3 部分：左边的一串铜环+中间一个铜环+右边一串铜环。

现在要每天取走一个环，我们会发现无论在哪个铜环上砍一刀，都不可能将这些铜环全部拆开，即变为 7 个独立的铜环。

所以要转变思路，允许每天拿铜环时跟串连在一起的铜环进行交换，这样才能保证每天取走一个铜环，七天将铜环全部取走。

方法：在第 3 个铜环（或者第 5 个铜环）上砍一刀，将铜环拆分为 2+1+4 的组合。



第一天：取走 3

第二天：还 3 ，取走 1,2

第三天：取走 3

第四天：还 1,2,3 ，取走 4,5,6,7

第五天：取走 3

第六天：还 3 ，取走 1,2

第七天：取走 3

4、额头上的数字

首先 A ：我不知道自己是多少；B：我也不知道

这说明 A，B 额头上的数字都不是 1 。这是因为如果有一个 1 ，则另一个人马上就能猜出自己额头上的数字是 2 。（因为已知最小数是1,并且两人额头上数字相差1）。

接着 A ：我知道自己是多少了；B ：我也知道了

这说明 B 的额头上一定是 2 。因为 A、B 都知道了每个人额头上的数字不可能是 1 ，所以只有 B 的额头上是2，A才能知道自己额头上的数字是 3（因为不可能是 1 ，同时相差 1 ）。试想，如果 B 额头上是 3 ，则 A 也无法确认自己额头上的数字是多少（因为可能是 2 ，也可能是 4 ）。

因此 A 额头上的数字是 3 ，B 额头上的数字是 2 。

5、阴影部分的面积差

可用割补法将半圆补成一个整圆，如图所示。



这样就会发现，（2）蓝色区域的面积与（2'）蓝色区域的面积相等，同时（2'）蓝色区域与（2"）黄色区域面积相等。所以半圆中最大的黄色区域面积（1）减去最小的蓝色区域面积（2）就是下图中框出的梯形面积。



同理半圆中蓝色区域面积（3）减去黄色区域面积（4）就是下图中框出的三角形面积。



所以蓝色部分和黄色部分的面积差为梯形面积减去三角形面积：

梯形面积：1×1×0.5 - 0.5×0.5×0.5 = 0.375

三角形面积：0.5×0.5×0.5 = 0.125

0.375 - 0.125 = 0.25

即蓝色部分和黄色部分的面积相差 0.25 。

小猿科普