二素数间隔问题

白新岭 · 发表于 2025-8-12 10:09

一个很绕脑的问题，在某一范围内，两个素数之间的间隔最小是2（除了素数2，与素数3间隔为1外），那最大间隔是多少呢？但是，无论最大间隔是几，我们能肯定的是，所有间隔的数量加在一起，它们总的个数应该是这个区间段素数个数的总和。
假如1万之内，有间隔2的x1个，有间隔4的x2个，有间隔6的x3个（两个素数之间无其他素数），有间隔8的x4个（两个素数之间无其他素数），有间隔10的x5个（两个素数之间无其他素数），......，一直到此范围内最大间隔2k有xm个。
例如，在100之内间隔2的8组，间隔4的7组，间隔6的7组，间隔8的1组，间隔1的1组（素数2与素数3），间隔0的1组（第一个素数与本身），累计25个（100以内素数有25个）。

白新岭 · 发表于 2025-8-12 11:14

10^3内统计
0 1
1 1
2 35
4 40
6 44
8 15
10 16
12 7
14 7
16 0
18 1
20 1
合计 168
在1000以内间隔16的没有

白新岭 · 发表于 2025-8-12 11:14

10^4内统计
0 1
1 1
2 205
4 202
6 299
8 101
10 119
12 105
14 54
16 33
18 40
20 15
22 16
24 15
26 3
28 5
30 11
32 1
34 2
36 1
合计 1229

白新岭 · 发表于 2025-8-12 11:36

对于1万之内的，两个素数间隔32之内的，已有了公式，把34的，36的分析完，就可以得到万内的公式，有A*x/（ln（x））^m的和式组成。2≤m≤11(最密11生素数的间距是36）
所以，我们把11生素数以内的各种结构分析完就可以了。它是一个什么样子的，有待揭晓（用一般k生素数（K≥2）表示素数个数的公式组合）

njzz_yy · 发表于 2025-8-19 19:21

本帖最后由 njzz_yy 于 2025-8-19 19:40 编辑

见、
http://www.mathchina.com/bbs/for ... =2064822&extra=

yangchuanju · 发表于 2025-8-26 19:32

10^5以内素数间隙
0 1
1 1
2 1224
4 1215
6 1940
8 773
10 916
12 964
14 484
16 339
18 514
20 238
22 223
24 206
26 88
28 98
30 146
32 32
34 33
36 54
38 19
40 28
42 19
44 5
46 4
48 3
50 5
52 7
54 4
56 1
58 4
60 1
62 1
64 1
66 0
68 0
70 0
72 1
合计 9592
最大间隙72，没有间隙66,68,70的。

yangchuanju · 发表于 2025-8-26 19:33

10^6以内素数间隙
0 1
1 1
2 8169
4 8143
6 13549
8 5569
10 7079
12 8005
14 4233
16 2881
18 4909
20 2401
22 2172
24 2682
26 1175
28 1234
30 1914
32 550
34 557
36 767
38 330
40 424
42 476
44 202
46 155
48 196
50 106
52 77
54 140
56 53
58 54
60 96
62 16
64 24
66 48
68 13
70 22
72 13
74 12
76 6
78 13
80 3
82 5
84 6
86 4
88 1
90 4
92 1
94 0
96 2
98 1
100 2
102 0
104 0
106 0
108 0
110 0
112 1
114 1
合计 78498
最大间隙114，没有间隙94,102,104,106,108,110的。

yangchuanju · 发表于 2025-8-26 19:44

正整数n内素数的最大间隙——
1000以内素数中的间隙是20，若按1000的自然对数平方计应为48；
10000以内素数中的间隙是36，若按10000的自然对数平方计应为84；
10 0000以内素数中的间隙是72，若按10 0000的自然对数平方计应为132；
100 0000以内素数中的间隙是114，若按100 0000的自然对数平方计应为190；
……
用n的自然对数的平方估算n内素数的最大间隙，估算值偏大许多！

yangchuanju · 发表于 2025-8-26 19:45

本帖最后由 yangchuanju 于 2025-9-1 06:26 编辑

根据小月亮先生给出的10^5--10^16以内的实际最大素数间隙数据和ln(x)^2对比如下——
自然数x 最大间隔 ln(x)^2 比值
100000 72 132.5474528 1.840936844
1000000 114 190.868332 1.674283614
10000000 154 259.7930074 1.686967581
100000000 220 339.3214791 1.542370359
1000000000 282 429.4537469 1.522885627
10000000000 354 530.189811 1.497711331
1E+11 464 641.5296714 1.38260705
1E+12 540 763.4733279 1.413839496
1E+13 674 896.0207807 1.329407686
1E+14 804 1039.17203 1.292502524
1E+15 964 1192.927075 1.237476219
1E+16 1132 1357.285916 1.199015827
随着自然数x的不断增大，ln(x)^2与最大间隙的比值逐渐向1靠近！

经从有关资料查证，10的15次方以内的两相邻素数最大间隔964应为906，后面的两个数字也应相应变动，特此声明！

yangchuanju · 发表于 2025-8-26 20:10

本帖最后由 yangchuanju 于 2025-8-26 20:24 编辑

从互联网上可以查到——
中国重庆大学的江山于2014年2月1日在其论文
《任意相邻两个素数之间的最大距离公式》
中给出——

Pn表示为第n个素数，那么任意相邻两个素数之间的最大距离为：
D1=P(n+1)--Pn<<[ln(Pn)/(1+ln(1+1/lnPn)]^2 (1)
一个更精确的公式：
D2=P(n+1)--Pn<<[ln(Pn)/(1+ln(1+ln(lnPn)/lnPn)]^2 (2)
公式的意义是：对于素数Pn，在范围Pn到D1（或D2）中至少能找到一个大于Pn素数来。
【附注：文中公式已改写，但乘除关系未变】

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