杨振宁 15 岁高考遇到的尺规作图问题

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杨振宁 15 岁高考遇到的尺规作图问题

作者 | 孙志跃 陈珏

林开亮老师在一场主题为《数学之美》的讲座中分享了一道尺规作图问题，他说这是杨振宁 15 岁高考遇到的题目，而且还是一道压轴题。本文的两位作者分别解了一下这道题，结果我们的解法不谋而合，林老师建议我们将这道题目的解法整理成文分享给更多读者。

1. 问题呈现

平面上给定一条直线，一个圆以及圆周上一点，求作一个圆，使它与给定的直线相切，且与给定的圆相切到所给定的点。



有兴趣的朋友不妨先自行思考一下，再看后面的解答。

2. 思路分析

（1）题目是纯文字表述的，首先用数学语言重新表述一下，也就是写出“已知”和“求作”。

已知：直线 AB 和 ⊙O 及 ⊙O 上一点 P ，如图 1 所示。

求作：⊙M ，使 ⊙M 与直线 AB 相切，同时与 ⊙O 相切于点 P 。


图 1

（2）如图 2 ，假设满足要求的 ⊙M 已经作出来了，首先因为 ⊙M 与 ⊙O 相切于点 P（这里画的是外切，也有可能内切），所以圆心 M 在直线 OP 上。另外，⊙M 又与直线 AB 相切，设切点 N ，则 MN⊥AB ，且 MN=MP 。


图 2

（3）接下来最关键的一点就是作出 ⊙M 与 ⊙O 的公切线，即过点 P 作直线 OP 的垂线。假设公切线交直线 AB 于点 Q ，由 MN⊥AB ，MP⊥PA ，MN=MP 可知，点 M 在 ∠PQN 的角平分线。

（4） 因此我们只要作 ∠PQN 的角平分线与直线 OP 相交就可以得到圆心 M 。如果再作 ∠PQA 的角平分线与直线 OP 相交就可以得到另一个满足条件的圆心 M 。两种情况分别与 ⊙O 外切和内切。

3. 解答

根据以上分析，得到如下作图方法：

（1）连接直线 OP ；

（2）过点 P 作直线 OP 的垂线交直线 AB 于点 Q ；

（3）作 ∠PQB 的角平分线与直线 OP 相交于点 M ；作 ∠PQA 的角平分线与直线 OP 相交于点 M' 。

（4）以点 M（或 M' ）为圆心，MP（或 M' P）为半径作 ⊙M 或 ⊙OM' ，⊙M 或⊙OM' 都是满足条件的圆。

注：以上的作图方法只是作图的基本思路，省去了作图的细节。另外，还有一些特殊情况我们也略去了，比如说当 OP⊥AB 时，上述的作图方法已不适用，且满足条件的圆只有一个，此时的作图方法很容易看出来；再比如说当直线 AB 与 ⊙O 相切于点 P 时，满足条件的 ⊙M 有无穷多个。你不妨自己动手试试，此处不再赘述。

4. 致谢

感谢西北农林科技大学林开亮老师给我们分享此题，并提供写作建议和帮助。本文第二作者陈珏任职于湖南教育出版社数学教材编辑部，并感谢同事郭旗编辑指点讨论。

原创  孙志跃  陈珏  好玩的数学  2025 年08 月 25 日 06:04  江西