模運算符的改進及應用

蔡聽濤

模運算符的改進及應用


模運算符mod是一種基本數學運算符號，表示取模（或取餘）運算（Modulo），即兩個整數相除後取餘數的運算，例如計算7 mod 3時，由於7除以3的商為2，餘數為1，故7 mod 3 = 1。一般地，模運算mod的定義如後：
當兩個整數 a 和 n 進行除法運算時，a 除以 n 的商為 q（整數部分），餘數為 r。此時，我們稱a 對 n 取模的結果為 r，記作 a mod n = r 或 a % n = r，而稱 n為模數。
有時也會使用等價形式 [a]_n 或 <a>_n 來表示 a 對 n 取模後的結果集合。
模運算是一種二元運算，其結果是一個非負整數且小於除數 n。
Modulo一詞源自拉丁文Modus，意為「量度、方式、模式、風度」.中譯為「模」，音意兼顧，極為巧妙。
模運算符mod 最早由高斯於1801年在其《算術研究》使用， 高斯還發明≡表示同餘關係，如：
若 a mod n = b mod n，則稱 a 與 b 關於模 n 同餘，記作 a ≡ b (mod n)。
mod用作算符，總感覺不大簡潔，1970年代開始計算機編程語言用百分號%替代mod。但%有歧義，且%中的小圈&#186;容易被誤讀為0。筆者曾于2020年2月22日想出用 &#8274;來表示模運算符，2025年8月22日查到 &#8274;已用作商業符號，表示負數，又想出用./.表示模運算。本符號對比mod和%，極為簡潔明瞭，例如：
23mod7=2            23≡2(mod7)
23%7=2              23≡2(%7)   
23./.7=2              23≡2(./.7)         
又如模運算的基本性質及週期性表示：
基本性質之一：
(a + b) mod n ≡ [(a mod n) + (b mod n)] mod n
(a + b) % n≡ [(a % n) + (b% n)]%n
(a + b) ./. n≡ [(a./. n) + (b./.n)] ./. n
週期性：
    (a + kn) mod n ≡ a mod n
    (a + kn) % n ≡a% n
    (a + kn) ./.n ≡a ./. n
mod不僅書寫繁瑣，識讀也容易與代數符號a，n等混響，%儘管書寫較簡便，但也不如./.便捷，且識別度也稍差。書寫./.時，可先寫/再寫兩點。目前計算機沒有獨立符號「./.」，暫時可用三個半角字符組合而成。將來若能進入&#160;Unicode 標準，並與 ≡同用一個獨立按鍵，則輸入更為便捷。

後面再舉幾例實際應用：
（1）問：今天是2025年8月22日星期五，下月9月22日是星期幾？
解：（31+5）./.7≡36./.7=1
答：2025年8月22日是星期一。
（2）問：現在是北京時間2025年8月22日上午9時18分，紐約什麼時間？已知北京時區是東8區，紐約時區是西5區。
解：（9-8-5）./.24≡-4./.24≡(-24+20)./.24
答：現在紐約是8月21日20時18分。
（3）問：公曆2025年是夏曆乙巳年，數學家丘成桐生於1949年，求其生年干支及生肖。
解：先排列天干地支的序號：
天干：甲1，乙2，丙3，丁4，戊5，己6，
庚7，辛8，壬9，癸10（0）
地支：子1，丑2，寅3，卯4，辰5，巳6，
（生肖）鼠   牛    虎   兔    龍    蛇
午7，未8，申9，酉10，戌11，亥12（0）
          馬   羊    猴   雞    狗     豬
[干，支]=[10,12]=60，年份差Δ=2025-1949=76
(乙-76)./.10=(2-76+80)./.10≡6./.10≡己./.10
(巳-76)./.12≡(6-76+72)./.12≡2./.12≡丑./.12
答：數學家丘成桐生年公曆1949年是夏曆己丑年，其生肖屬牛。
（4）問：唐代詩人韋莊的《秦婦吟》描寫黃巢之亂的情景，云「中和癸卯春三月，洛阳城外花如雪。東西南北路人絕，綠楊悄悄香塵滅」，假若只曉得其時間大概在公元九世紀（800年代）後期，公曆1911年是辛亥年，請問「中和癸卯」對應公曆哪一年？
解：1.推算公曆800年代的辛亥年：
1911./.69≡（1911-1080）./.60≡831./.60≡891./.60
    2.以800年代的前一個辛亥年831年為基準往後推算，「中和癸卯」，設年份差Δ，則：
Δ./.10≡(癸-辛）./.10≡（10-8）./.10≡2./.10≡52./.10
Δ./.12≡(卯-亥）./.12≡（4-12）./.12≡-8./.12≡4./.12≡52./.12
  831+52=883
答：韋莊《秦婦吟》詩中的「中和癸卯」對應公曆為883年。
（5）問：孔子生日，《春秋公羊傳》記爲魯襄公二十一年十一月庚子日，《春秋穀梁傳》記爲魯襄公二十一年十月庚子日，哪個可信？
《春秋公羊傳》：「（襄公）二十有一年，……九月庚戌朔，日有食之。冬十月庚辰朔，日有食之。……十有一月，庚子，孔子生。」
《春秋穀梁傳》：「（襄公）二十有一年，……九月庚戌朔，日有食之。冬十月庚辰朔，日有食之。……庚子，孔子生。」
解：1.求庚子與庚辰日期的最小差。
（庚-庚）./.10≡（7-7）./.10≡0./.10≡20./.10
（子-辰）./.12≡（1-5）./.12≡-4./.12≡20./.12
2.分析：十月朔日（初一）庚辰日後20日為庚子日（二十一日），而下一個庚子日相距60日，應在十二月，不可能在十一月。
答：《春秋穀梁傳》所載的孔子生日可信，為魯襄公二十一年十月庚子（二十一日）。此為周曆，相當於夏曆八月庚子（二十一日）。換算為公曆是公元前552年10月9日（參見江曉原《孔子誕辰考》，1999年）。
（6）問：《孫子算經》：今有物不知其數，三三數之賸二，五五數之賸三，七七數之賸二。問物幾何？
解：《孫子算經》有此類問題的通用解法，被稱作「孫子定理」或「中國剩餘定理」。此問題相當於求解同餘方程組：
x ≡ 2 (./.3)
x ≡ 3 (./.5)
x ≡ 2 (./.7)
1.求模數乘積：M = 3×5×7 = 105
2.求各模數下的乘逆：
  M&#8321; = 105/3 = 35,  35 ./. 3 ≡ 2,  
∵ 35 ./. 3 ≡ 2, 且 35 × 2 = 70, 70 ./. 3 ≡ 1,
∴ 35 在模 3 下的逆元為 2。
  M&#8322; = 105/5 = 21,  21 ./. 5 ≡ 1,  逆元為 1
  M&#8323; = 105/7 = 15,  15 ./. 7 ≡ 1,  逆元為 1
3. 構造解：
x ≡ (2×70 + 3×21 + 2×15) ./. 105
     ≡ (140 + 63 + 30) ./. 105
     ≡ 233 ./. 105 ≡ 23
答：該物最小數為23。
  
    前面的用例充分顯示出模運算符「./.」簡潔實用的優越性。此符號形態簡潔，既契合現代數學與計算機科學對形式化、高效率的追求，其「點」與「線」的基本幾何元素也易於融入全球不同的語言文化體系。期待「./.」能成為連通古今數學智慧、促進碳硅文明對話的一座新橋樑。

公元2025年8月23日
夏曆乙巳年七月朔日 蔡聽濤 記


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