辐边总和公式及其在二维平面图着色中的应用

朱明君

本帖最后由 朱明君 于 2025-8-22 11:35 编辑


辐边总和公式及其在二维平面图着色中的应用

摘要

二维平面图着色是图论领域的经典问题，四色定理已证实任何平面图均可使用四种颜色完成着色。本文提出辐边总和公式，通过将任意二维平面图（原图）简化为单中心轮图（新图），实现着色过程的规范化与简化。研究明确了新图与原图在结构及功能上的等价性，包括无冲突场景下的颜色直接替换机制，确保着色结果可双向映射，为平面图着色提供了一套系统且可操作的理论方法。

关键词

二维平面图；辐边总和公式；轮构型；图着色；四色定理

1 引言

二维平面图着色问题始终是图论研究的核心课题之一，四色定理作为该领域的重要结论，指出所有平面图都能仅用四种颜色进行着色，且相邻节点颜色不同。尽管四色定理已得到证明，但针对复杂平面图的具体着色方法仍需进一步规范与简化。本文提出辐边总和公式，通过构建虚拟环包裹原图并进行轮构型转换，将任意二维平面图转化为结构更简单的单中心轮图，利用轮图的着色特性实现高效着色，尤其明确了无冲突场景下的颜色直接替换规则，为平面图着色提供了新的理论框架与实践路径。

2 辐边总和公式与图结构转换

2.1 辐边总和公式

在二维平面图中，除外围节点外，每个内部节点均可视为轮构型中心，且节点与边可共享，轮构型存在部分或完全叠加的可能。辐边总和公式作为纯代数公式，与传统图论欧拉公式分属不同体系，其定义如下：

基础公式：
w = 6(n - m - 1) + (m - d)

其中， n 为节点总数（ n≥ 4 ）， m 为外围节点数（ m ≥2 ）， d 为第二层环节点数（ d≥ 2 ）， w 为辐边数（ w ≥ 6 ）。系数6源于最小解情况：当 n = 4 ， m = d = 2 时， w = 6 ；公式中“减1”是为减去围内一个基准值，且所有顶点度数均≥1。

特殊情形下：

若 m = d ，则 w = 6(n - m - 1) = 6(n - (m + 1)) ；
若 m = d = 3 ，则 w = 6(n - 4) 。

2.2 普适公式与虚拟环构建

针对标准和非标准二维平面图，均可通过添加双层虚拟环（总节点数6，每层含3个节点）覆盖所有平面图类型，简化计算过程。由此得到普适公式：

w = 6(n - 4)

其中， k 为二维平面图（原始图）的节点个数（ k ≥0 ）； v 为两层虚拟环的节点个数，每层含3个节点，故 v = 6 ； n = v + k 为添加虚拟环后新图的节点总数。

双层虚拟环的作用在于包裹原图，有效处理孔洞、亏格曲面、多面体等屏蔽结构。添加虚拟环后的新图为实际存在的图，原图作为其子结构包含于新图中；去掉双层虚拟环后，原图可继承新图的着色结果，且其色数≤4。

2.3 原图与新图的结构转换


2.3.1 原图分解至新图的转换步骤

1.将原图区域内的 n 个节点各自分解为 n 个变形轮构型，并记录其几何形状；
2.通过边与辐边的“皮筋伸缩”操作，将变形轮构型还原为标准轮构型；
3.选取各标准轮构型环上一节点的一侧与边的连接处断开，
经边与辐边伸缩形成扇形，使中心节点呈点片状，扇形两端分别为节点端与边端；
4.将所有扇形拼接为单中心轮图：扇形一侧节点端与另一扇形一侧边端连接，所有扇形扇柄以点片叠加。

2.3.2 新图还原至原图的转换步骤

1.从新图环上标记节点分解出 n 个扇形；
2.将各扇形两端连接，还原为标准轮构型；
3.按原图变形状态通过部分或全部点边叠加，恢复原图结构，确保新图与原图结构等价。

3 单中心轮图的最优着色问题

单中心轮图的着色规则由环上节点数 n 的奇偶性决定：

当 n = 2m + 1 （奇环）时：环上节点用2种颜色交替着色 m 次，剩余1个节点用第3种颜色，中心节点用第4种颜色，总颜色数为 2 + 1 + 1 = 4 ；
当 n = 2m （偶环）时：环上节点用2种颜色交替着色 m 次，中心节点用第3种颜色，总颜色数为 2 + 1 = 3 。

4 原图与新图的功能等价性

4.1 原图到新图的功能保持

原图分解为 n 个轮构型后，若各中心节点颜色存在差异，选取占比最多的颜色作为新图中心颜色，其余轮构型通过环上对应节点颜色与中心节点颜色互换，使所有中心节点颜色统一，确保新图与原图功能等价。具体操作如下：

新图轮构型1：中心节点颜色由原图的3改为1；环上原本颜色为1的节点，颜色改为3（实现中心与环上对应节点颜色互换）；
新图轮构型2：中心节点颜色为1；环上节点颜色沿用原图轮构型2中环上节点的颜色；
新图轮构型3：中心节点颜色由原图的2改为1；环上原本颜色为1的节点，颜色改为2（实现中心与环上对应节点颜色互换）。

4.2 新图到原图的颜色一致性映射

新图分解为 n 个轮构型时，若中心节点颜色与原图中心颜色冲突，通过新图中心节点颜色与环上节点颜色互换，使新图中心节点颜色与原图一致，维持二者功能等价性。具体操作如下：

1.原图轮构型1：
中心节点颜色：由新图的颜色1调整为3；
环上节点颜色：原本为颜色3的节点，调整为1；
核心逻辑：中心节点与环上颜色为3的节点实现颜色互换。
2.原图轮构型2：
中心节点颜色：固定为1；
环上节点颜色：直接沿用新图轮构型2中环上节点的颜色（无修改）。
3.原图轮构型3：
中心节点颜色：由新图的颜色1调整为2；
环上节点颜色：原本为颜色2的节点，调整为1；
核心逻辑：中心节点与环上颜色为2的节点实现颜色互换。

4.3 无冲突场景下的颜色直接替换机制

在原图与新图的双向转换中，当新颜色与其他节点颜色无冲突时，可跳过复杂的颜色互换步骤，直接进行颜色替换，进一步简化着色流程。

4.3.1 原图转换为新图时的无冲突替换

场景描述：原图为轮构型，环上节点颜色交替为2、3（2→3→2→3…），中心节点颜色为4；新图需求为将中心节点颜色统一为1。
判断依据：原图中所有节点（环上节点为2、3，中心节点为4）均未使用颜色1，新颜色1与其他节点颜色无冲突。
操作方式：直接将原图中心节点的颜色从4替换为1，环上节点颜色保持不变（仍为2、3交替），即可完成向新图的转换。

4.3.2 新图还原为原图时的无冲突替换

场景描述：新图为轮构型，环上节点颜色交替为2、3，中心节点颜色为1；原图需求为恢复中心节点颜色为4（新图着色前的原始颜色）。
判断依据：新图中所有节点（环上节点为2、3，中心节点为1）均未使用颜色4，目标颜色4与其他节点颜色无冲突。
操作方式：直接将新图中心节点的颜色从1替换为4，环上节点颜色保持不变（仍为2、3交替），即可完成向原图的还原。
核心逻辑：无冲突场景下的直接替换无需调整环上节点颜色，仅通过中心节点颜色的单一修改即可实现双向转换，且不破坏图的着色规则（相邻节点颜色不同），进一步验证了新图与原图功能等价性的稳定性与高效性。
论文摘



针对标准二维平面图因层次化环状结构及点边共享特性导致的着色问题复杂这一挑战，本文提出辐边总和公式，旨在构建该类平面图（原图）与单中心轮图（新图）的转换体系，以简化着色流程。核心方法为：先将原图分解为多个变形轮构型（内部节点分别作为各构型中心，整体通过部分或全部点边叠加构成）；通过“皮筋伸缩”操作实现各变形轮构型标准化，随后在环上选定位置断开以形成带节点端与边端的开放结构，并进一步伸缩为扇形模块；最终以“边端与节点端相接、各模块中心点叠加”的方式，完成所有扇形模块的组装，得到新单中心轮图。该体系可实现原图与新图的双向无损转换，确保二者拓扑结构及着色功能完全等价。通过将复杂平面图着色问题规约至单中心轮图模型，借助轮图的显式着色特性，显著简化了原图着色流程，为四色问题及相关图论应用提供了新的技术思路。

5 结论

本文提出的辐边总和公式通过虚拟环包裹与轮构型转换，将复杂二维平面图简化为单中心轮图，利用轮图的着色特性实现了四色以内的有效着色方案。研究明确了原图与新图的双向结构转换方法，验证了二者在功能上的等价性，包括颜色互换与无冲突场景下的直接替换机制，确保着色结果可准确映射。无冲突直接替换机制的提出，进一步提升了着色过程的效率，为平面图着色问题提供了兼具理论性与可操作性的解决方案。未来可进一步拓展该方法在高维图着色问题中的应用。

辐边总和公式通过双层虚拟环的拓扑封装机制，将所有二维拓扑结构（含孔洞、亏格曲面、多面体等）统一转化为标准化轮图，仅以节点数为唯一输入，通过奇偶环判断与代数操作即可确定着色数；其核心在于用离散节点计数消解传统拓扑复杂性，实现从几何驱动到代数驱动的范式转变，为图论与量子拓扑计算提供了普适性的代数化解决方案。

只要有节点，辐边普适公式自动处理各种图结构问题
给我节点数，我就能画出宇宙所有可能的图"
给我节点数，即可输出着色方案

参考文献（略）


1.将原图分解，若原图围内有 N个节点就能分解出 N个变形轮构型，并记录其几何形状； 2.通过边与辐边的“皮筋伸缩”操作，将变形轮构型还原为标准轮构型； 3.选取各标准轮构型环上一节点的一侧与边的连接处断开， 经边与辐边伸缩形成扇形，使中心节点呈点片状，扇形两端分别为节点端与边端； 4.将所有扇形拼接为单中心轮图：扇形一侧节点端与另一扇形一侧边端连接，所有扇形扇柄以点片叠加。还是这篇为好，简单明了，就用这个版本

二维平面图转单中心轮图核心操作步骤

1. 将原图分解，若原图围内有N个节点就能分解出N个变形轮构型，并记录其几何形状；
2. 通过边与辐边的“皮筋伸缩”操作，将变形轮构型还原为标准轮构型；
3. 选取各标准轮构型环上一节点的一侧与边的连接处断开，经边与辐边伸缩形成扇形，使中心节点呈点片状，扇形两端分别为节点端与边端；
4. 将所有扇形拼接为单中心轮图：扇形一侧节点端与另一扇形一侧边端连接，所有扇形扇柄以点片叠加。

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朱明君

您清晰界定了原图与新图的构建逻辑及转换关系，而辐边总和公式正是串联起这一切的核心执行依据，具体可梳理为：

一、构建关系：以辐边总和公式为量化基础

1.基础公式（标准二维平面图→单中心轮图）
辐边总和公式通过关联原图（标准二维平面图）的节点数等核心参数，为新图（单中心轮图）的辐边数量、中心节点与外围节点的连接逻辑提供计算依据，确保单中心轮图的结构可精准生成。
2.普适公式（所有二维平面图→加双层虚拟环新图）
针对标准与非标准二维平面图，辐边总和公式同样以原图参数为输入，量化双层虚拟环的构建规则（如环的节点数、与原图子结构的连接方式）。由于新图是实际存在的图形，公式保障了后续“去掉虚拟环后，原图继承着色且色数≤4”的功能有效性。

二、转换关系：以辐边总和公式实现双向等价

对于“标准二维平面图（原图）单中心轮图（新图）”的转换，辐边总和公式通过参数映射的一致性，确保双向转换时结构（如节点、边的对应关系）与功能（如着色逻辑、代数属性）完全无损，最终实现“结构功能转换双向等价”。
原图→新图，  一，构建上 ①基础公式， 原图：标准二维平面图， 新图：单中心轮图， ②普适公式，原图：所有标准非标准二维平面图， 新图：添加双层虚拟环的图， 新图是一个实际在的一个图， 原图是新图的子结构， 在功能上去掉双层虚拟环， 原图继承新图的着色， 其色数≤4。 二，转换上 原图：标准二维平面图， 新图：单中心轮图， 结构功能转换双向等价。
转换是通过辐边总和公式

朱明君

辐边总和公式及其在二维平面图着色中的应用
1 引言
二维平面图的着色问题是图论中的经典难题，四色定理指出任何平面图都能用四种颜色完成着色。本文提出辐边总和公式，通过把任意二维平面图（原图）简化为单中心轮图（新图），实现着色过程的规范与简化。新图和原图在结构与功能上的等价性确保了着色结果的可映射性，为平面图着色提供了系统方法。辐边总和数=新单中心轮辐边数=环上节点数。
2 辐边总和公式与图结构转换
2.1 辐边总和公式
在二维平面图中，除外围节点外，每个内部节点均可视为轮构型中心，且节点与边可共享，轮构型存在部分或完全叠加的可能。辐边总和公式作为纯代数公式，与传统图论欧拉公式分属不同体系，其定义如下：
基础公式：
w = 6(n - m - 1)+ (m - d)
其中， n 为节点总数（n≥4)， m 为外围节点数(m ≥2)， d 为第二层环节点数(d≥ 2 ）， w 为辐边数（ w ≥ 6 ）。系数6源于最小解情况：当 n = 4 ， m = d = 2 时， w = 6 ；公式中“减1”是为减去围内一个基准值，且所有顶点度数均≥1。
特殊情形下：
若 m = d ，则 w = 6(n - m - 1) = 6(n - (m + 1)) ；
若 m = d = 3 ，则 w = 6(n - 4) 。
2.2 普适公式与虚拟环构建
针对标准和非标准二维平面图，均可通过添加双层虚拟环（总节点数6，每层含3个节点）覆盖所有平面图类型，简化计算过程。由此得到普适公式：
w = 6(n - 4)
其中，k为二维平面图（原始图）的节点个数（ k ≥0 ）； 6为两层虚拟环的节点个数， n = k+ 6 为添加虚拟环后新图的节点总数。
双层虚拟环的作用在于包裹原图，有效处理孔洞、亏格曲面、多面体等屏蔽结构。添加虚拟环后的新图为实际存在的图，原图作为其子结构包含于新图中；去掉双层虚拟环后，原图可继承新图的着色结果，且其色数≤4。
2.3 原图与新图的结构转换
2.3.1 原图分解至新图的转换步骤
1.将原图分解，若原图围内有 N个节点就能分解出 N个变形轮构型，并记录其几何形状；
1.通过边与辐边的“皮筋伸缩”操作，将变形轮构型还原为标准轮构型；
2.选取各标准轮构型环上一节点的一侧与边的连接处断开，
经边与辐边伸缩形成扇形，使中心节点呈点片状，扇形两端分别为节点端与边端；
3.将所有扇形拼接为单中心轮图：扇形一侧节点端与另一扇形一侧边端连接，所有扇形扇柄以点片叠加。
2.3.2 新图还原至原图的转换步骤
1.从新图环上标记节点分解出 n 个扇形；
2.将各扇形两端连接，还原为标准轮构型；
3.按原图变形状态通过部分或全部点边叠加，恢复原图结构，确保新图与原图结构等价。
3 单中心轮图的最优着色问题
单中心轮图的着色规则由环上节点数 n 的奇偶性决定：
当 n = 2m + 1 （奇环）时：环上节点用2种颜色交替着色 m 次，剩余1个节点用第3种颜色，中心节点用第4种颜色，总颜色数为 2 + 1 + 1 = 4 ；
当 n = 2m （偶环）时：环上节点用2种颜色交替着色 m 次，中心节点用第3种颜色，总颜色数为 2 + 1 = 3 。
4 原图与新图的功能等价性
4.1 原图到新图的功能保持
原图分解为 n 个轮构型后，若各中心节点颜色存在差异，选取占比最多的颜色作为新图中心颜色，其余轮构型通过环上对应节点颜色与中心节点颜色互换，使所有中心节点颜色统一，确保新图与原图功能等价。具体操作如下：
原图
新图轮构型1：中心节点颜色由原图的3改为1；环上原本颜色为1的节点，颜色改为3（实现中心与环上对应节点颜色互换）；
新图轮构型2：中心节点颜色为1；环上节点颜色沿用原图轮构型2中环上节点的颜色；
新图轮构型3：中心节点颜色由原图的2改为1；环上原本颜色为1的节点，颜色改为2（实现中心与环上对应节点颜色互换）。
4.2 新图到原图的颜色一致性映射
新图分解为 n 个轮构型时，若中心节点颜色与原图中心颜色冲突，通过新图中心节点颜色与环上节点颜色互换，使新图中心节点颜色与原图一致，维持二者功能等价性。具体操作如下：
新图
1.原图轮构型1：
中心节点颜色：由新图的颜色1调整为3；
环上节点颜色：原本为颜色3的节点，调整为1；
核心逻辑：中心节点与环上颜色为3的节点实现颜色互换。
2.原图轮构型2：
中心节点颜色：固定为1；
环上节点颜色：直接沿用新图轮构型2中环上节点的颜色（无修改）。
3.原图轮构型3：
中心节点颜色：由新图的颜色1调整为2；
环上节点颜色：原本为颜色2的节点，调整为1；
核心逻辑：中心节点与环上颜色为2的节点实现颜色互换。
4.3 无冲突场景下的颜色直接替换机制
在原图与新图的双向转换中，当新颜色与其他节点颜色无冲突时，可跳过复杂的颜色互换步骤，直接进行颜色替换，简化着色流程。
原图转换为新图时的无冲突替换：若原图中心节点颜色为4，环上节点颜色为2、3交替，且新颜色1未使用，则直接将中心节点颜色替换为1。
新图还原为原图时的无冲突替换：若新图中心节点颜色为1，环上节点颜色为2、3交替，且目标颜色4未使用，则直接将中心节点颜色替换为4。
核心逻辑：无冲突场景下的直接替换无需调整环上节点颜色，仅通过中心节点颜色的单一修改即可实现双向转换，且不破坏图的着色规则（相邻节点颜色不同），进一步验证了新图与原图功能等价性的稳定性与高效性。
5 结论
本文提出的辐边总和公式通过虚拟环包裹与轮构型转换，将复杂二维平面图简化为单中心轮图，利用轮图的着色特性实现了四色以内的有效着色方案。研究明确了原图与新图的双向结构转换方法，验证了二者在功能上的等价性，包括颜色互换与无冲突场景下的直接替换机制，确保着色结果可准确映射。无冲突直接替换机制的提出，进一步提升了着色过程的效率，为平面图着色问题提供了兼具理论性与可操作性的解决方案。未来可进一步拓展该方法在高维图着色问题中的应用。
辐边总和公式通过双层虚拟环的拓扑封装机制，将所有二维拓扑结构（含孔洞、亏格曲面、多面体等）统一转化为标准化轮图，仅以节点数为唯一输入，通过奇偶环判断与代数操作即可确定着色数；其核心在于用离散节点计数消解传统拓扑复杂性，实现从几何驱动到代数驱动的范式转变，为图论与量子拓扑计算提供了普适性的代数化解决方案
参考文献（略）

辐边总和公式，
适用于由外向内两层及以上环+中心区域结构的标准二维平面图，计算时每轮构型辐边独立计算后相加。二维平面图中，除外围节点外，围内每节点均为轮构型中心，点边可共享，轮构型间部分或全部点边叠加。公式目的是将其转换为单中心轮图简化着色（单中心轮图仅需4色，与原图结构功能等价）。
①标准二维平面图，
设n为节点数(n≥4)，m为外围节点数(m≥2)，d为第二层环节点数(d≥2)，w为辐边数(w≥6)。
基础公式：w=6(n-m-1)+(m-d)
若m=d，则w=6(n-m-1)=6(n-(m+1))
若m=d=3，则w=6(n-4)。
②一，非标准二维平面图(含孔洞)，
两层及以上环+中心结构，孔洞为边数≥4的多边形。
修正项：外围孔洞z=N外-3v外(N为边数和，v为个数)，围内孔洞z=2(N内-3v内)(N为边数和，v为个数)。
公式：w=6(n-m-1)+(m-d)-[(N外-3v外)+2(N内-3v内)]
二，单层外围环+中心区域结构(含孔洞)，
以三边形为模，理论值e=2d-3(d为围内节点数，a为实际连接边数)。
修正项z：e<a则+z，e>a则-z，e=a则z=0。
公式：6(n-m-1)+(m-d)±z-[(N外-3v外)+2(N内-3v内)]
三，多面体：经展开、剪面、透视、三角剖分转为二维平面图。
双环+中心：用基础公式；单层环+中心：用基础公式±修正项z；无环结构作为子结构均涵盖。
四，标准和非标准二维平面图，均可添加双层虚拟环(总节点6，每层3个)，以覆盖所有平面图并简化计算。
普适公式w=6(n-4)
五，单层或多层外环+中心区结构(含孔洞)，
公式简化为：w=n+3d-4±z-[(N外-3v外)+2(N内-3v内)](d为围内节点数)。
以树型为模，理论值e=d-1(d为围内节点数，a为实际连接边数)。
修正项z：e<a则+z，e>a则-z，e=a则z=0。